通解凑微分

2020/1/231作业P236习题8.29.11.13.25.26.28.35.39.41.47.2020/1/232第二十二讲常微分方程（二）一、一阶线性方程三、可利用微分形式求解的方程二、伯努利(Bernoulli)方程四、积分因子2020/1/233)1()()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn阶线性微分方程n)2(0)()()(1)1(1)(yxayxayxaynnnn非齐次齐次一、一阶线性微分方程2020/1/234线性方程的性质一)(则它们的任意线性组合的解是线性齐次方程与如果,)2()()(21xyxy.,,)2(21为任意常数其中的解都是方程CC)()(2211xyCxyCy性质1：必有零解。线性齐次方程)2(性质2：。为任意常数的解亦是则的解是线性齐次方程若)((2))(,)2()(CxCyyxyy性质3：2020/1/235.)2()()(,)1()(),(2121的解是齐次方程则的解是非齐次方程如果xyxyxyxy.)1()()(,)2()()1()(**的解是非齐次方程则的一个解是齐次方程的一个解，是非齐次方程如果xyxyxyxy性质4：性质5：2020/1/2360)()()(xcyxbdxdyxa0)(yxpdxdy)()(xqyxpdxdy(1)如何解齐次方程？非齐次齐次可分离型！0)(yxpdxdy标准形式：什麽类型？一阶线性微分方程2020/1/237分离变量dxxpydy)(dxxpcey)(是p(x)一个原函数不是不定积分！齐次通解解得注意：齐次通解的结构：)(,0)(')(11xCyyyxpyxy则通解零解一个非的是设2020/1/238)1()()(xqyxpdxdy(2)用常数变异法解非齐次方程假定(1)的解具有形式)()(1xyxCy将这个解代入(1),经计算得到)2(0)(yxpdxdy齐次方程的对应于)1()()2(1)(xCyCeydxxp的通解为2020/1/239）的解，（是2)(1xy0)()()()(')(11xyxCxpxyxC)(')()()(11xyxCxyxC)()()()(1xqxyxCxp化简得到)()()(1xqxyxCdxxpexqxC)()()(即2020/1/2310积分CexqxCdxxp)()()(从而得到非齐次方程(1)的通解))(()()(dxexqCeydxxpdxxp非齐次通解))((000)()(xxdxxpdxxpdxexqCeyxxxx或2020/1/2311非齐次通解的结构：的通解为则的一个解是通解的是设)1(,)1()()(')(,)2(0)('xqyxpyxyyxpyy)()(xyyxy000)(yCyxy得给特解))((000)(0)(xxdxxpdxxpdxexqyeyxxxx非齐次特解2020/1/2312的通解。求例)1(1']1[yy][解的一个解易知)2(0'yy.)1(1)(的一个解是观察出xy1)()1(xCexy的通解,)(1xexy.)2(xCey的通解2020/1/2313dyeyydxxdyy2]2[例这是线性方程吗？是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！[解]变形为：yyeyxdydx第一步:先求解齐次方程0yxdydx齐次方程通解是)R(CCyxydyCexydyxdx2020/1/2314第二步:用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为yyCx)(代入方程并计算化简yyeyCyCyCy)()()(yeyC)(积分得CedyeyCyy)(通解yyeCyx2020/1/2315方程证明连续有界在设例,),0[)(,0]3[xfa)0()(ttfaxdtdx.),0[有界每个解在.)0()(0的解是满足初始条件设xxtxx)0())(()(00tdssfexetxtasat则[证]2020/1/2316Mxf)(设tstadssfextx0)(0)()(tstadseMx0)(0aMx02020/1/2317Bernoulli方程nyxqyxpdxdy)()()()(1xqyxpdxdyynnny方程两端同除nyz1令dxdyyndxdzn)1(则有二、伯努利(Bernoulli)方程2020/1/2318dxdzndxdyyn11)()1()()1(xqnzxpndxdz将原方程化为Bernoulli方程nyz1令线性方程2020/1/231934232'][yxyxy解方程例34nBernoulli方程31341yyz令[解]将原方程化为'31'34yyz232'3xzxz2313432'xyxyy2020/1/2320解线性方程相应的齐次方程)2(032'zxz(2)的通解3232132)(CxeCCezdxxdxx设(1)的解为32)(xxCz代入(1),计算化简得到)1(32'2xzxz232)(xxxC2020/1/232133273)()(xCxxzzxz3323173xCxyCxdxxxC373473)(332377373)(xxxxz的通解)1(原方程的通解2020/1/2322三、可利用微分形式求解的方程利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式.)(xydydxxdy)2(22yxdydyxdx)(2xydxydxxdy)(2yxdyxdyydx例如2020/1/2323)(arctan22yxdyxxdyydx)(arctan22xydyxydxxdy)(2222yxdyxydyxdx)2(2222yxdydyxdxxy2020/1/2324[解]0)(2ydyydxxdydxx0)2()()3(23ydxydxd0)23(23yxyxd通解Cyxyx23230)()(]1[2dyyxdxyx解方程例凑微分2020/1/2325]2[例0)ln(3dyyxdydxxy0)lnln(3dyyxdyxyd0)4()ln(4ydxyd通解为Cyxy441ln0)ln(3dyxydxxy解方程[解]改写为2020/1/2326]3[例02222dyyxdxyxxxdx0)(2222dyyxxdyxxdx0)(222yxdyxxdx通解为Cyxx2322)(32分将方程的左端分组凑微0)1(222dyyxdxyxx解方程[解]2020/1/23270)(]4[2dyxyydx解方程例问:能否直接通过凑微分求解？不能问:能否变为可通过凑微分求解的方程？试试看2020/1/2328(六)积分因子)1(0),(),(dyyxNdxyxM微分方程，使得若能找到),(yx0)),(),()(,(dyyxNdxyxMyx可利用微分形式求解，的是方程则称)1(),(yx积分因子2020/1/232902dyyxdyydx2y)(yxd2y0dyCyyx通解)1(2y积分因子可能会丢解！[]0)(]4[2dyxyydx解方程例0y[解]2020/1/2330解方程例]5[0)1(223dyyxdxxy[解]yyx1),(积分因子022ydyydyxdxxy0)(ln)2(22ydyxd222yxCey通解2020/1/2331小结1.解、通解、特解、定解问题2.一阶微分方程可积类型可分离型、一阶线性、利用微分形式、思想：方程变形——变量代换可化为可分离、伯努利方程、积分因子