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1第二章平面解析几何初步第1课时直线的斜率一、知识梳理1、直线向上的方向与x轴正方向所形成的角就是直线的倾斜角,通常规定直线和x轴平行时的倾斜角为0°,所以倾斜角的范围:0180。2、若直线的倾斜角为,当tan存在时,tanK叫做该直线的斜率:当0,0k;当090时,0K;当90时,K不存在;当90180时,0K。3、要证A、B、C三点共线,只要证明ABACKK或AB、BC的斜率都不存在;反之,只要ABACKK,则A、B、C三点共线。二、学习探究在平面直角坐标系中,确定一条直线需要哪些条件?分析:(1)两点确定一条直线的位置;(2)一点与直线的倾斜角确定直线位置。三、典型例题例1:已知(3,2)A,(4,1)B,(0,1)C,求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?解析:直线AB的斜率121437ABK直线BC的斜率1110(4)2BCK直线CA的斜率12103CAK由107ABK知AB的倾斜角为锐角,同理10CAK,CA的倾斜角为锐角;由102BCK,知BC的倾斜角为钝角。归纳与总结:1)2121tanyyKxx2)0K时,090;0K时,0;0K时,90180。变式训练:已知点(3,4)A,在坐标x轴上有一点,使直线AB的斜率等于2,求B2点的坐标。解:因为点B在x轴上,设(,0)Bx4023ABKx,解得1x,所以(1,0)B。例2:m为何值时,经过两点(,2)Cm,(,23)Dmm的直线的倾斜角为120°?解:因为经过C、D的直线的斜率232252mmKmmm。又直线CD的倾斜角为120°,tan1203K,2532mm,解得5(13)4m。变式训练:m为何值时,经过两点(,6)Am,(1,)Bm的直线的斜率为12?解:经过A、B的直线的斜率611()2mKm,解得13m,13m归纳与总结:1)当12xx时,2121tanyyKxx2)当12xx时,K不存在,90例3:若三点(1,0)A,(,3)Ba,(2,2)C在同一直线上,求a的值。解:因为A、B、C三点在同一直线上,所以AB的斜率与AC的斜率相等即3020(1)2(1)a,解得12a变式训练:若三点(2,2)A,(,0)Ba,(0,)(0)Cbab共线,求11ab的值。解:因为A、B、C三点共线,所以ABACKK,即022202ba,即(1)(1)4ab化简得22abab,两边除以2ab,得1112ab。归纳总结:要证A、B、C三点共线,只要证ABACKK或AB、AC斜率不存在,反之只要证ABACKK,则A、B、C共线。四、分层练习基础练习1、过点(1,3)P和(0,5)Q的直线斜率为(B)A、2B、-2C、12D、1232、与y轴平行的一条直线,其倾斜角(C)A、等于0°B、等45°C、等于90°D、不存在3、对于下列命题①若是直线l的倾斜角,则0;②若K是直线l的斜率,则KR;③任一条直线都有倾斜角,得不一定有斜率;④任一条直线都有倾斜率,得不一定有斜角。其中正确命题的个数是(C)A、1B、2C、3D、44、直线l过点(1,2),且不过第四象限,那么l的斜率的取值范围是(A)A、[0,2]B、[0,1]C、1[0,]2D、1[0,]25、过点(2,)pm,(,4)Qm的直线斜率为1,则m的值为1。6、已知(23,)Mmm,(2,1)Nm,过点M、N的直线的倾斜角为锐角,则m的取值范围{|15}inmm或。7、已知直线l过(1,2)P,且与(2,3)A,(3,0)B为端点的线段相交,则直线l的取值范围:1(,][5,)2。8、已知实数x,y满足28xy,当23x时,求yx的最大值和最小值。解:由已知得82yx且23x所以8282(23)yxxxxx当2x时,yx取得最大值2;当3x时,yx取得最小值23。拓展与延伸9、将直线l沿x轴正方向平均数移2个单位长度,再沿y轴负方向平衡移3个单位长度,又回到原来的位置,求直线l的斜率。解:设直线l上任意一点00(,)Pxy,直线l沿x轴正方向平移2个单位长度后,则P平移到100(2,)Pxy,再将直线l沿y轴负方向平移3个单位长度后,则1P平移到?因为P与2P都在直线l上。40000(3)3(2)2yyKxx,l的斜率32K10、若一条光线从点(3,5)A射到x轴,被x轴反射,反射光线经过点(2,7)B,求入射光线的倾斜角的正切值和反射光线的倾斜角的正切值。解:设点(2,7)B关于x轴的对称点为B,则(2,7)B,由光线知识知AB就是入射光线所在直线。7512235ABK入射光线的倾斜角的正切值12tan5设入射光线的倾斜角则180,故18012tantan(180)tan5反射光线的倾斜角的正切值为125。五、易错分析(1)因为任何直线都有倾斜角,由斜率tanK易认为任何直线都有斜率。(2)当斜率0K时,容易把看成(,0)2。(3)容易错误地认为任何直线都有两点斜率公式2121yyKxx,不注意其中12xx。5第2课时直线方程的点斜式一、知识梳理1、直线方程点斜式:若直线l过点111(,)Pxy,且斜率为K,则直线方程为11()yykxx。2、直线方程斜截式:若已知直线的斜率为K,则在y轴上的截距为b,则直线方程为ykxb。二、学习探究若直线l经过点(1,3)A,斜率为-2,点P在直线上运动,那么点P的坐标满足什么条件?分析:由2PAK知321yx,即32(2)yx(,)Pxy的坐标满足32(2)yx。三、典型例题例1:写出下列直线方程(1)经过点(1,3),斜率为-1;(2)斜率为2,在y轴上截距为-2。解:(1)由直线点斜式方程知:31(1)yx即直线方程为40xy。(2)由直线斜截式方程知:22yx即直线方程为220xy。归纳与总结:求直线方程,首先应分析已知什么条件,然后确定直线方程形式,再求出方程。例2:已知直线l过点(1,2)P,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程。解:设l在两坐标轴上的截距都为t①若0t,则直线过0(0,0),(1,2)Pl的斜率20210Kl的方程为2yx②若0t,则可设直线l的方程为1xytt由l过(1,2)P知121tt,3t6所以直线l的方程为133xy,即30xy综上所述,直线l的方程为20xy或30xy。归纳与总结:当直线在坐标轴上的截距相等时,往往使用直线方程截距式,但要注意不忘记过原点的情形,即在两坐标轴上的截距都为零。变式训练:过点(1,4)P,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有(C)A、1条B、2条C、3条D、4条例3:求过点(2,2)P且和两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程。解:设所求直线l的方程为2(2)(0)ykxk令0x得22yk,所以直线l交y轴(0,22)Ak令0y得22xk,所以直线l交x轴于2(2,0)BkOAB的面积1211|22||2|2|(1)(1)|2|2|12OABSkkkkRR解方程12|1|1kR得112k或22k。所求直线l的方程为:12(2)2yx或22(2)yx即220xy或220xy归纳与总结:当已知直线过一个已知点时,往往采用点斜式,但考虑要斜率不存在的情形。变式训练:直线l过点(1,2)P,与x轴、y轴的正方向分别交于A、B两点,当OAB的面积最小时,求直线l的方程。解:设直线l的方程为2(1)ykx因为l与两坐标轴正向都相交,所以0k令0x得2yk,所以(0,2)Bk令0y得21xk,所以2(1,0)Ak112||||(1)(2)22OABSOAOBkk714(4)2kk1442()()42kk当且仅当4kk即2k时,4OABS最小此时,l的方程为22(1)yx,即240xy。四、分层练习基础练习1、方程(2)ykx表示(C)。A、通过点(2,0)的一切直线B、通过点(2,0)的一切直线C、通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线D、通过点(2,0)且不含x轴的一切直线2、已知直线l过点(3,2)P,且斜率为45,则下列哪一点不在直线l上(B)。A、(8,2)B、(4,3)C、(2,6)D、(7,10)3、在同一直角坐标系中,表示直线yax与yxa的图象正确的是(C)。解:在yax中a表示斜率,0a直线向右倾斜,倾斜角0900a直线向左倾斜,倾斜角90180在yxa中,a表示在y轴上的截距,此时0a表示直线和y轴交点在原点上方;0a表示直线和y轴交点在原点下方。据此逐一排除,A、B、D错误,故选C。4、方程(1)210()axyaaR表示直线恒过(A)。A、(2,3)B、(2,3)C、(2,3)或(2,3)D、A、B、C都不对5、若341mn。那么直线2mxny必过点(6,-8)。6、过点(1,2)P,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条。7、直线:1lyx上一点,P的横坐标是3,把直线l绕点P按塑时针方向旋转OxyAOxyBOxyCOxyD890°后得所到的直线的方程是70xy。解:因为3px,所以14ppyx,点P的坐标为(3,4);又因为l的倾斜角为45°,将其按逆时针方向旋转90°后得直线l的倾斜角为135°,所以直线l的方程为41(3)yx,即70xy。8、已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为37,求直线l的方程。解:设所求直线l的方程为ykxb,因为6k,所以直线方程6yxb令0x得yb,l与y轴交于点(0,)Ab令0y得6bx,l与y轴交于点(,0)6bB由22||(0)(06)376bAB,解之得所求的直线方程为66yx或66yx。延伸拓广9、求经过点(2,1)P,在x轴、y轴上的截距分别为a、b,且3ab的直线方程。解:①若30ab,则0ab,即所求直线过原点,可设方程为ykx,因该直线过点(2,1)112,2kk12yx,即所求直线方程为20xy②若30ab,设该直线过点(,0),(0,)AaBb该直线的斜率为01033bbbkaab,又直线过点(2,1)P直线方程11(2)3yx即310xy10、直线l过点(1,2)P,与x轴、y轴的正方向分别交于A、B:(1)当||||OAOB最小时,求直线l的方程。(2)当||||PAPB最小时,求直线l的方程。解:(1)设直线l的方程为2(1)(0)ykxk令0x得2yk,(0,2)Bk令0y得21xk,2(1,0)Ak9222||||123()()32()()322OAOBkkkkkk当且仅当2kk,即2k时,||||OAOB最小为322此时l的方程22(1)yx,即2220xy(2)2222224||||(11)4(10)(22)(4)(1)PAPBkkkk22221122224kkkk当且仅当221kk,即1k时,||||PAPB最小
本文标题:平面解析几何初步
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