5-2-2一阶微分方程复习

复习：一、基本概念微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解二、一阶微分方程0),,(yyxF1、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(解法dxxfdyyg)()(CxFyG)()(得2、一阶齐次微分方程)(xyfdxdy解法,xyu作变量代换.)(xuufdxdu原方程化为可分离变量的方程可化为齐次方程)(111cybxacbyaxfdxdy.314的通解求例yxyxdxdy解,0301khkh解方程组,2,1kh.2,1YyXx令,YXYXdXdY代入原方程得，令XYu,kYyhXx令,31khYXkhYXdXdY则,11uudXduXu分离变量法得,)12(22CuuX,222CXXYY即代回，将2,1yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy.622122Cyxyxyx或方程变为.15的通解求例yxyxdxdy解.001无解方程组khkhyxv令代入原方程得,kYyhXx令,1khYXkhYXdXdY则dxdydxdv1则分离变量法得,dxvdv原方程的通解Cxyx2)(2vvdxdv11vdxdv1即Cxv221积分得例6求解微分方程0cos)3sin42()3sin2(ydyyxdxyx解0)(sin)3sin42()3sin2(ydyxdxyx令zysin,34232zxzxdxdz再令uzx2,236udxdu两边积分后得,632Cxuu变量还原得.6)sin2()sin2(32Cxyxyx例7求解微分方程.8237323223yyyxxxyxy解,8237322222yxyxxdxydy,823732)()(222222yxyxxdyd令,,22yx,823732dd,1208230732khkhkh由令1,2YXYXYXdXdY2332,2332XYXY令XYuXdXduuu)1(2232两边同时积分得,)1(145CXuu变量还原后得通解.)2()1(34252222xyxCyx利用变量代换求微分方程的解.)(82的通解求例yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当三、一阶线性微分方程例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的..0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,)(ln1CdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解结论:非齐次线性微分方程的通解等于它的一个特解与它所对应的齐次线性微分方程的通解之和.注意:使用公式前,应将方程写成标准形式.,1)(xxP,sin)(xxxqCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解.sin1的通解求方程xxyxy例1例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.y)(xfy)0(3xxy)(xf,)()(230yxdxxfxxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfydxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).222(32xxeyx23xyy.)1(2的通解求方程xeyxyx例3例4求微分方程的通解xyydxdyyexy3)2(1))(1(伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.四、伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,1nyz令，则dxdyyndxdzn)1(),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz求出通解后，将代入即得nyz1，得两端除以ny代入上式.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以y例5例6的通解。求2222xxexyyy解,2112yxexyyx,2)1(1yyz令,2dxdyydxdz则,22xxexzdxdz][222Cdxexeezxdxxxdx所求通解为).2(222Cxeyx小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程)(xyfy;xuy令;)()(dxxPexuy令;1zyn令基本方法:初等积分法-----通过分离变量后,积分求解.;)(sin1.12xyxyxdxdy解,xyz令,dxdyxydxdz则,sin1))(sin1(22zxyxyxxydxdz,42sin2Cxzz分离变量法得,代回将xyz所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy五、综合例题;1.2yxdxdy解,uyx令,1dxdudxdy则代入原式,11udxdu分离变量法得,)1ln(Cxuu,代回将yxu所求通解为,)1ln(Cyxy11yeCxy或另解.yxdydx方程变形为0)sin(.3yxxyx22.4yxyyx02)1.(5222dyxdxyx。的连续函数求满足方程)()(1)(.602xfdttfexfxx0)(.70xyxfayy设有初值问题：)1()(0)(2)1(axeakxyxkxf有时，，证明：当）若（求该初值问题的解；作业：P295,1(1)(4),2(1)(3),3(2)(4)(5),4(1)(3)(4)(6)(7),5,8,9