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1二、齐次微分方程例如0222dyxyxdxyxy可改写为xyxyxydxdy222故原方程为齐次方程。定义xyy,xf则称这方程为齐次方程。y,xfdxdy若中的函数y,xf的函数,可写成xyxydxdy在齐次方程中,变量的方程。,xyu令就化为变量可分离xyxyxy2122dxduxudxdyuxydxduxuuuudxdux3解22xxyydxdy令,uxy则,uxy原方程变为,uudxduxu12.uudxdux1即例1的通解dxdyxydxdyxy22求方程原方程可写成:dxduxudxdy12xyxy分离变量得xdxduu11两端积分得xCuulnlnCuxuln所给方程的通解为CxyylnxyxyCxycCxyeCyyeeyeeey10总之,也是该方程的解。0y不包含P-1934例2)的通解(求022xyyxyx解xyxyy2)(1xuyxyu令2211uuxuuuxuuxuyCxxyCxuxdxudulnarcsinlnarcsin125可化为齐次微分方程的方程2212yxyxdxdy022012yxyx0,1yx解得:YyXx,1令2)1(2121YXYXdXdYdxdy为齐次微分方程YXYXdXdY22uXYXYu令uudXduXudXdY221uuudXduX221uuudXduX2412dXXduuuu141226dXXduuuu241242122ln|41|lnCXuu122|)41(|lnCuuXCuuX)41(22CXYXYX])(41[22CYXYX224Cyyxx22)1(4)1(222111cybxacybxadxdy2121bbaa若都可以用上述方法求解7一、一阶线性微分方程:方程(2)分离变量后得dxxPydy其通解为:dxxPCey两边积分,dxxPydy得:1lnCdxxPy------一阶非齐次线性微分方程xQyxPdxdy(1),0xQ若xQyxPdxdy-------对应于(1)的齐次线性微分方程0yxPdxdy(2),0xQ若8常数变易法:dxxPexuy设为(1)的解,?xudxxPexuy将代入(1),得:xPexuexudxxPdxxPdxxPexuxPxQ即,dxxPexQxu求得(1)的通解为:.CdxexQxudxxPCdxexQeydxxPdxxP?xQyxPdxdy如何解dxxPCedxexQedxxPdxxP对应的齐次方程的通解该方程的特解9例1求方程的通解。25112xxydxdy解012xydxdy分离变量得12xdxydy其通解为.12xCy对应齐次方程为先求对应齐次方程的通解设原方程通解为21xxuy(3)则将(3)式与(4)式代入原方程,整理得211x'u1212xux'u'y(4)法1常数变易法11ln2lnCxy10两端积分得,待定函数为Cxu23132原方程通解为Cxxy2313212法2公式法,xxydxdy25112,xxP12.xxQ251CdxexQeydxxPdxxPCdxexedxxdxx1225121Cdxxxx2252111Cxx231321211例21|)32xyyyyx(求解初值问题yyxdydxyyxdydxyxydxdy22])([)(1)()()(CdyeyQexyyQyyPdyyPdyyP]1[][CdyyyyCdyyeexydyydy)2(2)1(131|3yyxCyx解值)对数函数可以不取绝对)(0(yCyy12四、伯努利方程10,nyxQyxPdxdyn(6)可化为xQyxPdxdyynn1代入(6)式,可将伯努利方程化为一阶线性微分方程:xQnzxPndxdz11ny1求出此方程的通解后,以代z,便得方程(6)的通解。引入新的未知函数,yzn1,dxdyyndxdzn1,11dxdzyndxdyn13例1求方程的通解。2lnyxaxydxdy解得xazxdxdzln21121令,121yyz该方程通解为2ln2xaCxz1y以代z,得所求方程通解为:1ln22xaCyxxazxdxdzln1即利用变量替换把一个较复杂的微分方程化为较简单的微分方程,是解微分方程的一种常用方法。注14例4解方程.yxdxdy1法1一阶线性微分方程(解略)。令x+y=u,uudxdu1分离变量得dxduuu1以u=x+y代入即得原方程通解为Cyxy1ln两端积分得Cxuu1ln解,yxdydx把方程变形为法2则y=u-x代入原方程得dxduu111yyQyPyxdydx,1,15小结:1.齐次方程xyy,xfdxdy,xyu令2.线性微分方程一阶非齐次线性微分方程xQyxPdxdy一阶齐次线性微分方程0yxPdxdy3.伯努利方程10,nyxQyxPdxdynxQyxPdxdyynn1,yzn1xQnzxPndxdz11令
本文标题:5-2-2微分方程
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