不定积分公式

;)1(,11d21Cxxx)(;||lnd13Cxxx)(;lnd4Caaxaxx)(不定积分基本公式表;)(d1为常数)(kCkxxk;ede,eCxaxx时当；)(Cxxxsindcos5；)(Cxxxcosdsin6；)(Cxxxtandsec72；)(Cxxxcotdcsc82；)(Cxxxxsecdtansec9；)(Cxxxxcscdcotcsc10；)(CxCxxxarccosarcsin1d112.cotarctan1122CxCxxxarcd)(;lnd1Cxxx当x0时，,1)1(1)ln(xxx因为所以当x0时，,1)(lnxx因为所以.)ln(d1Cxxx综合以上两种情况，当x0时，得.||lnd1Cxxx例1求不定积分.d1xx解.01xx的定义域为被积函数例2求不定积分..d1)2(xx解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，(1)xxxxxdd252Cx1251251.723Cxx(2)Cx1211211xxxxdd121Cx212得.2Cx;d)1(2xxx例3求不定积分.de2xxx解xxxxxd)e2(de2Cx)e2ln()e2(.2ln1e2Cxx法则1两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，.d)(d)(d)]()([xxgxxfxxgxf即二、不定积分的基本运算法则法则1可推广到有限多个函数代数和的情况，即xxfxfxfnd)()()(21.d)(d)(d)(21xxfxxfxxfn根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.).()(xgxfxxgxxfdd)()(xxgxxfdd)()(证法则2被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号前面，xxfkxxkfd)(d)((k为不等于零的常数)证类似性质1的证法，有即xxfkd)(xxfkd)().(xkf例4求不定积分.d)2sin2(xxxxex但是由于任意常数之和还是任意常数，xxxxexd)2sin2(xxxxxxexd2sin2dd32521522)cos(2CxCxCex)22(54cos232125CCCxxex.54cos225Cxxex其中每一项虽然都应有一个积分常数，解所以只需在最后写出一个积分常数C即可.求积分时，如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果，三、直接积分法或对被积函数进行简单的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)，在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分法．例5求.d)1(23xxxxxxd)1(23xxxxxd331232xxxxd3312xxxxxxxdd3d13d2.213||ln312Cxxxx解例6求.)1(12222xxxxdxxxxxd)1()1(2222xxxxxxxxdd)1()1(1222222xxxxdd1122.arctan1Cxx解xxxxd)1(12222例７求.124xxxdxxxd11124xxxxxxdd111)1)(1(2222xxxxdd2211)1(.arctan33Cxxx解xxxd124例8求.sincos2cosxxxxdxxxxxdsincossincos22xxxdsincos.cossinCxx解xxxxdsincos2cos例9求.sincos122xxxdxxxxxd2222sincossincosxxxxdd22sin1cos1.cottanCxx解xxxd22sincos1xxxxdd22sin1cos1例10求.tan2xxdxxxdd2sec.tanCxx解xxd1sec2xxd2tan例11已知物体以速度v2t2+1(m/s)作直线运动，当t=1s时,物体经过的路程为3m,求物体的运动规律.解设所求的运动规律s=s(t)，按题意有12)()(2ttvts积分得Cttttts3232)12()(d将条件s|t=1=3，代入上式中，得于是物体的运动规律为.34C.3432)(3ttts