不定积分求解方法-分部积分法

第三节由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法（P236）第四章例1.求解:令,xu,cosxv则,1uxvsin∴原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考:如何求提示:令,2xu,sinxv则原式机动目录上页下页返回结束(P237)例2.求.dlnxxx解:令,lnxuxv则,1xu221xv原式=xxln212xxd21Cxxx2241ln21机动目录上页下页返回结束例3.（P238）求.darctanxxx解:令,arctanxuxv则,112xu221xv∴原式xxarctan212xxxd12122xxarctan212xxd)111(212xxarctan212Cxx)arctan(21机动目录上页下页返回结束例4.（P238-P239）求.dsinxxex解:令,sinxuxev,则,cosxuxev∴原式xexsinxxexdcos再令,cosxuxev,则,sinxuxevxexsinxxexexxdsincos故原式=Cxxex)cos(sin21说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.机动目录上页下页返回结束解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为u.v例5.求解:令,arccosxu1v,则,211xuxv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx21机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例6.求解:令,coslnxuxv2cos1,则,tanxuxvtan原式=xxcoslntanxxdtan2xxcoslntanxxd)1(sec2xxcoslntanCxxtan机动目录上页下页返回结束例7.求解:令,tx则,2txttxd2d原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tutev)teC机动目录上页下页返回结束令例8.求解:令,22axu,1v则,22axxuxv22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa∴原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22机动目录上页下页返回结束例9.（P241）求解:令,)(122naxu,1v则,)(2122naxxnuxvnIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22机动目录上页下页返回结束说明:递推公式已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21机动目录上页下页返回结束例10.证明递推公式证:xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注:或机动目录上页下页返回结束说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束例11.已知的一个原函数是求解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明:此题若先求出再求积分反而复杂.机动目录上页下页返回结束xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例12.求.dxI23)1(2x解法1先换元后分部令,arctanxt即,tantx则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan机动目录上页下页返回结束xeIxdarctan23)1(2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1(11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法2用分部积分法机动目录上页下页返回结束xexarctan211xd23)1(2xxexarctanvu内容小结分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则:xvuvd易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:vu机动目录上页下页返回结束例13.求xxId)ln(sin解:令则texexttdd,tteItdsintetsintetcosttetettdcossintsinteIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)]cos(ln)[sin(ln21可用表格法求多次分部积分机动目录上页下页返回结束uexexuudd,例14.求解:令则原式,lnxuue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式=ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344机动目录上页下页返回结束思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?xxxdsincosxxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.Cxsinln机动目录上页下页返回结束2.求对比P403公式(70),(71)提示:)cos(bxa)sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek1机动目录上页下页返回结束备用题.求不定积分解：方法1(先分部,再换元))1(dxe令,1xeu则112uCuu)arctan(44机动目录上页下页返回结束方法2(先换元,再分部)令,1xeu则故)1ln(22uu1机动目录上页下页返回结束1