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第四章不定积分第三节不定积分的分部积分法主要内容:1、分部积分法的基本公式2、分部积分法的基本类型(重点,难点)复习回顾—课前练习(2)原式;dsin1xeaxbx)(xxxd)11(192(2)ddsin)1(xexaxbx解:原式bxebaxaxabxddsin1.cos1Cbeaxabx)11(d)11(9xx.)11(10110Cx在前一节,我们利用复合函数的求导法则得到了“换元积分法”。但是,对于形如ed;xxxlnd;xxxsind;xxx的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到,这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分,第3节不定积分的分部积分法4xxexd求式:利用函数乘积的求导公xxxxexxeexxe)()()(dxexxedxexdxxexxxx])()[()(两边积分:dxedxxexx)(Cexexx这就是另一个基本的积分方法:分部积分法.xxxexexxe)()()(•一、分部积分公式设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分,得这两个公式称为分部积分公式.vdxuuvdxvu,或vduuvudv,vdxuuvdxvu,或vduuvudv,1)v容易求得;容易计算.xxxdsin22例1求解xxxdcosxxcos22xxxdcosxxsinCxxxcossinxxdsin讨论:分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd.dcosxxx)sind(xx)2d(cos2xx22cosdcos22xxxx降幂升幂xexexxxd31333例2求.d2xexx解xexxd2xex2Cexeexxxx)(22xxexd2xexd222dxeexxxxxexexd22)d(22xexeexxxx降幂讨论xexxd2)3(d3xex升幂降幂分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd二.基本类型及分部方式dxeaxpdxexpbaxnbaxn]1)[()(:1类型dxbaxaxpdxbaxxpnn])cos(1)[()sin()(:2类型dxbaxaxpdxbaxxpnn])sin(1)[()cos()(dxbaxxFdxbaxxf)ln()()ln()(:3类型xdxxFxdxxfarctan)(arctan)(:4类型xdxarcxFxdxarcxfcot)(cot)(xdxxFxdxxfarcsin)(arcsin)(xdxxFxdxxfarccos)(arccos)(把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的前者为,后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:顺序,Cxxxxdxxx22241ln2121ln21.例3例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln2121ln21.2d21dxxx分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvddxxxxx211arccos例4例5xxdxxxdxarccosarccosarccos)1()1(21arccos2212xdxxxCxxx21arccos.例5xxdxxxdxarccosarccosarccos例5xxdxxxdxarccosarccosarccos分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd,darctanxxxn,darcsinxxxnxxPxnd)(lnuuu用分部积分法,去掉反三角函数、对数)1(n分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd例62arctan21arctanxdxxdxx.d)1ln(2xxx练习(1)(2)dxxxxx2221121arctan21(1)解法一例62arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21dxxxx)111(21arctan2122Cxxxxarctan2121arctan212.例62arctan21arctanxdxxdxxdxxxx)111(21arctan21222d21dxxx分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd令xv则21122vx原式21(1)arctan2xx2211d21xxx21(1)arctan2xx11d2xxxarctan21211arctan22xxC解法二xxxxxd111)1ln(.d)1ln(2xxx解xxxd)1ln(2)1(d)1ln(xxxxxxx)d111()1ln(.ln)1ln()1ln(Cxxxx)1d(d12xxx分部积分过程:xvudvuduvuvdxuvuvd答案(2)例5求.dsinxxex解xxexdsinxexdsinxexsinxxexexxdcossinxxexxedcossinxexsinxxexxexxdsin)cos(sinxxexdsin)cos(sin2xxex原积分回归)(sindxex)cosdcos(xexexx.C三、分部积分过程中建立回归方程,d)cos(,d)sin(xbaxexbaxekxkx均为常数其中bak,,的选取可随意vud,注意前后几次所选的u应为同类型函数用分部积分法,建立回归方程三、分部积分过程中建立回归方程分部积分基本题型:1)xbaxxPd)sin()(,xbaxxPd)cos()(,xexPaxd)(……取)(xPu2)xxPxnd)(ln,xxxndarctan……取xxvndd3)xbxexbxeaxaxdcos,dsin,xxdsec3……分部积分“回归法”三、分部积分过程中建立回归方程解练习例8求xdx3sec.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansecdxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3xdxxxxx3sec|tansec|lntansec,所以xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23回归三、分部积分过程中建立回归方程例6求.1)dln(22xxx解xxx1)dln(2222d)1ln(xxxxxxxxd12)1()1ln()1(2222xxxxd2)1ln()1(22.)1ln()1(222Cxxx)1(四、换元积分法与分部积分法结合使用,解题更方便.解练习求.d12xex令,12xt则),1(212tx,ddttxxexd12ttetdtetdtetettdCetett.)112(12Cexx换元积分法与分部积分法结合使用,解题更方便.课后小结掌握分部积分法,会用分部积分法求一些基本类型的不定积分.课后练习P181~182)3.(7)(8)(9)(10)23第四次作业:第四次P1401(3)(7)(13)(14)(36)(42)(47)
本文标题:不定积分的分部积分法
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