7-6.二阶常系数齐次线性微分方程

第六节二阶常系数齐次线性微分方程二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构2.二阶非齐次线性方程的解的结构一、定义三、二阶常系数齐次线性方程解法7-6、7-7节)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式0(1)ypyqy二阶常系数齐次线性方程的标准形式()(2)ypyqyfx二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、定义12(,,...,nppp为常数)(,pq为常数))()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程时，当0)(xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性微分方程二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）问题:一定是通解吗？2211yCyCy()()0(1)yPxyQxy定义：设nyyy,,,21为定义在区间I内的n个函数．如果存在n个不全为零的常数12,,...,nkkk，使得当xI时有恒等式02211nnykykyk，成立，那么称这n个函数在区间I线性相关．否则称线性无关例如xx22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关,线性相关.时，当),(x21230.xxxkekeke使即找不到不全为零的数123,,,kkk能找到不全为零的数：1231,1,kkk221cossin0.xx使特别地:若在I上有常数，)()(21xyxy则函数)(1xy与)(2xy在I上线性无关.定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1))的通解.例如,0yy,sin,cos21xyxy21tan,yxy且常数通解为.sincos21xCxCy（特解）2.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设*y（x）是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy的一个特解,Y(x)是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*()()yYxyx是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.三、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法,rxey设0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr0qyypy猜想该方程具有形式的解，rxye'''2,,rxrxyreyre将其代入上方程,得特征方程（1）为什么？,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy(1)有两个不相等的实根)0(特征根为特征根,2422,1qppr,11xrey已知为方程的两个特解xrey22反之：如何求微分方程？为特征方程的根21,rr0))((21rrrr则特征方程为0)(21212rrrrrr0)(2121yrryrry微分方程为,11xrey,221prr(2)有两个相等的实根)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为见下页12(),rxyuxe1121,rxrxyueure11122112,rxrxrxyueureure0qyypy代入方程（1）此处学生自己做一下,0)()2(1211uqprrupru得转见上页,1xrxey已知为方程的一个特解反之：如何求微分方程？r1为特征方程的重根,0)(21rr则特征方程为022112rrrr02211yryry微分方程为12,.riri()()12,.ixixyeye(3)有一对共轭复根)0(特征根为欧拉公式：cossiniei()1.ixxixyeeecossinxexix()2.ixxixyeeecossinxexix重新组合得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyxy112由T可知，,y仍是方程1的解，1121cos2xyyyex2121sin2xyyyexi122ycotxCTyy又，由可知是方程1的通解.四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx方程（1）特征方程记忆！定义：由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为----特征方程法..044的通解求方程yyy解：特征方程为,0442rr解得122,rr故所求通解为.)(221xexCCy例1.230yyy例2求微分方程的通解.312.xxycece解:所给微分方程的特征方程为230,r2r121,rr其根=3是两个不相等的实根，因此所求通解为:例3..052的通解求方程yyy解:特征方程为：,0522rr解得1212,ri，故,所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx一对共轭复根例4求方程满足初始条件的特解.2220dsdssdtdt'004,2ttss解：所给方程的特征方程为0122rr其根为,121rr所求方程的通解为tetCCs)(21004'2ttss将条件，124,2CC代入得所求方程的特解为：tets)24(22(4)tsCCte例5求方程的通解.(4)'''''250yyy解:特征方程为,052234rrr解得根为021rr和.214,3ir因此方程的通解为：).2sin2cos(4321xCxCexCCyx特征根为,,,154321irrirrr故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx解,01222345rrrrr特征方程为,0)1)(1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy例6P340习题7-71.(5)、（6）；2.(3).布置作业