7-7定积分之几何应用-弧长曲率

2010/09§7.8定积分之几何应用－－－弧长xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，如折线长||11niiiMM的极限存在，且与分割方式无关,则称此极限为曲线弧AB的弧长.一、平面曲线弧长的概念!,是可求长的我们称曲线弧此时AB?可求长的条件?连续够不够在曲线光滑的条件下可求长．设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba二、直角坐标情形例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab例2计算曲线dnynx0sin的弧长)0(nx.解nnxny1sin,sinnxdxysba21dxnxn0sin1ntxndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts三、参数方程情形例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长例4证明正弦线xaysin)20(x的弧长等于椭圆taytxsin1cos2)20(t的周长.证设正弦线的弧长等于1sdxys20211dxxa2022cos1设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa,20222dtyxs根据椭圆的对称性知dttats02222cos1sin2dxxa022cos12,1s故原结论成立.dtta022cos12曲线弧为)()(rr其中)(r在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs四、极坐标情形例5求极坐标系下曲线33sinar的长.)0(a解drrs)()(22313cos3sin32ar,3cos3sin2a.23adaa242623cos3sin3sin30d23sin30a0()3例6求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ardrrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad12平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结曲率一、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M22M2S1SMM1S2SNN弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义1.sKMM的平均曲率为弧段设曲线C是光滑的，,sMM.切线转角为MM定义sKs0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下在ss.dsdK,',上两点为CMM2.曲率的计算公式注意:直线的曲率处处为零;,)(二阶可导设xfy,tany,12dxyyd.)1(232yyk,arctany有.12dxyds,),(),(二阶可导设tytx.)]()([)()()()(2322ttttttk,)()(ttdxdy.)()()()()(322tttttdxyd例1?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率例2.的圆周的曲率求半径为R解：设圆周方程为).20(sincosttRytRx,cos,sin'tRxtRx,sin,cos'tRytRy代入得.1Rk圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.二、曲率圆与曲率半径定义D)(xfyMk1.),(,.1,,).0(),()(处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆为半径为圆心以使在凹的一侧取一点处的曲线的法线上在点处的曲率为在点设曲线MDkDMDMkkyxMxfy,曲率中心D.曲率半径xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1kk即注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).三、小结基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).思考题椭圆上哪些点处曲率最大？,cos2txtysin3作业(数学分析学习指导书（四）第42页)习题6.78;9;10;13;14.思考题解答232])(1[||yyk2322)cos9sin4(6tt232)cos54(6t要使最大，k232)cos54(t必有最小，23,2t此时最大，k