2012届高三数学复习课件(广东文)第6章第1节__正弦定理和余弦定理

考纲要求高考展望①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．解三角形可以看成是三角恒等变换的延续和应用，用到三角恒等变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．由于近年高考命题强调以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故三角形问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能及三角函数的应用意识．预计2012年的高考，一是在小题里考查三角形内的数值关系问题，二是以解答题形式考查三角形中正、余弦定理和三角恒等变形、向量等知识的综合运用，三是利用解三角形解决测量长度、高度、角度等实际问题.2221.A60B45135C120D30ABCacbabC在中，若，则角为．．或．．2221cos26.220abcabCabaCbC由余弦定理得，又角解析：所以是三角形的内角，2.8607532A.42B.43C.46D.3ABCaBCb　在中，，，，则等于C607545.sinsin8sin604.sin45BCAbaBAb解析：由，，得由正弦定理得，则22223.sinsin2coscosABCDABCbCcBbcBCABC在中，若，则是．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等边三角形B22222224sinsin4sinsin8sinsincoscos.sinsin0sinsincoscoscos0.022RCBRCBRBCBCBCBCBCBCBCBCAABC由正弦定理得因为，所以，即因为＜＜，所以，故，即为直角解析：三角形．14.3cos2.ABCaAABC　在中，若，，则的外接圆的半径是　1 cos23sin.32.22.AAABCAABCRaRsinAR因为，且是的内角，所以设的外接圆的半径为由正弦定理，得，所以半径解为析：335.232.ABCbcA　已知的面积为，且，，则　　1 sin231323sinsin.222.60120ABCSbcAAAAAABC因为，所以，所以又角解析：或是的内角，所以60120或三角形解的个数的判定 182444()A.:BD.1.C.ABCabA在中，若，，，则此三角形解的情况为　　无解两解一解例题不能确定2 sinsin44sin45242122824nB1sibAbbbAab因为，所以，所以此三角形有两解．解析：答案： ()ABCabaAAABC反思小在中，已知两边、和其中一边的对角为锐角，则的解的结：情况如下：sinsinsinabAabAbAabab　　　　　　　　无解　　　　　一解　　　　　两解　　　　一解.8010045A.B.C.D.ABCABCabcabA在中，角、、所对的边分别为、、若，，拓展练习：，则此三角形解的情况为无解一解两解一解或无解  sin100sin4550280100siCn.bAbAab因为，所以，则此三角形有两解解，析：故选正弦定理与余弦定理2sin.1332722ABCabcABCacACcABCab在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且确定角的大小；若，且的面积为，求例题：的值．2 132sin.sin33sin0.3sin.2asinAsinAacAcCACABCC由及正弦定理，得因为，所以因为是锐角三角形，所以解析：222222273133sin6.2322cos737.3.12.575abcCababababababababab因为，，故由面积公式得，即①由余弦定理得，即②由②变形得③将①代入故方③得，法：222242221.7136613360549.0023322.abababababbaaaaabaabbab前同方法联立①②得，消去并整理得，解得或又，，所以或，故方法：()()解三角形时，正弦定理可用于解决角角边、角边角、边边角这种情况要讨论解的情况；余弦定理多用于解决边角边、边边边、边边角建立方程求解．并注意在三角形中，已知余弦值则角唯一确定，而已知正弦值时角未能唯反思小结：一确定．223202cos1.12ABCBCaACbabxxABCAB拓展练习：在中，，，、是方程的两个根，且求：角的大小；的长度．2222222221coscos[]1cos.223222cos2cos120(23)21201010.CABABababABACBCACBCCabaCAbababababB因为，所以由题设知，所以，所以解析：判断三角形的形状2cos()AB3CDABCabcABCabC在中，，，分别为角，，的对边．若，则此三角形一定是　　．等腰直角三角形．直角三角例题形．等腰三角形．等腰或直：角三角形222222222222sin22sincos.sin2sincossincoscossin0sin0.C.0.12abcababaabcbcABCRARBCABCBCBCBCBCBCBCABCBCBCBC由余弦定理得，则，即，所以为等腰三角形，由正弦定理将原式化为由，有，展开得解，即因为、为三角形的内角，则，方法：所以，即析：方法：选ABC为等腰故可得三角形． “”“”判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．要特别注意等腰直角三角形与等腰三角形或直角三角形的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两反思小结：条途径：12ABC利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．此时要注意应用这个结论，并优先考查最大角．在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解sinsinsin3430ABCDABCABCABC在中，若∶∶∶∶，则是．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等拓展练习：边三角形C2222sin2sin2sin3430.3430cos02RARBRCabccatbtctabcCabABC由正弦定理得∶∶∶∶∶∶，易得最大边为设，，，则，故为钝角解析：三角形．正弦定理·余弦定理·面积公式的灵活应用2.74sincos257.2212ABCABCabcABCabcCABC例题4在中，角、、的对边分别为、、已知，，求角的大小；求：的面积2222118074sincos22274coscos2221cos742cos12214cos4cos10cos.201860.0ABCABCCCCCCCCCC因为，故由，得，所以，整理，得，解得，所以解为：因析22222222cos7732536.31sin2113sin36.22232ABCcababCababababababCSabC由余弦定理得，即，所以，得又由知，所以 本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用．应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的．在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法．在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想反思小结：的应用．.1[]63ABCABCabcABCbAxacfxxfx在中，角、、所对的边分别是、、若、、成等差数拓展练习列，，记角，．当，时，求：的取值范围2.2.331sinsinsin11sinsinsinsin33ABCBACABCABCBACabcABCbABCacAC由、、成等差数列，得因为在中，，于是解得，从而因为在中，，，所以解析：232[sinsin()]332322(sinsincoscossin)3333sincos2sin()62sin()6326[33326]2AAAAAAAAfxxxxfxfx，即．由，得，于是，即的取值范围为，．112sin2sin2sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRabcABC．正弦定理：变形公式：①化边为角：，，；②化角为边：，，；③∶∶∶∶2　基本题型：①已知一边两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解．②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角．在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．22.111sinsinsin2222sinsinsin.43222222SabCbcAcaBabcSRABCRABCABCCABCABCAB　三角形面积公式：；.三角形内角和定理：在中，．41sinsincoscostantan2sincoscossin2222tantantantantantan3coscossinsinABCABCABCABCABCABCABCABCABCbaCcAABCABAB.三角形中的基本关系：在中：，，；，，；在中,，在中,，2222222225cos21cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab．余弦定理：变形：2基本题型：①已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解．②已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解．③已知两边和其中一边的对角，可建立方程求解，并注意到在三角形中，已知余弦值则角唯一确定，所以这种方法可避免讨论2222222223.61sinsinsincos.222CabcCabcCabcABCABCABCABC余弦定理是勾股定理的推广：判断为锐角，为直角，为钝角．特别提醒：求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：，，求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．1.1()A2sin2cos2Bsincos3 C3sinc(2010)os1D2sincos1　某班设计了一个八边形的班徽，如图所示，它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为　　．.．．北京卷221411sin2sin.211211cos22cos22cos.2sin2oA cs2.四个等腰三角形的面积之和为由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为所以所求八边形的面积为解析：答案：1.32135.2____________().2010ABCDBCBCBDADADBACABBD在中，为边上一点，，，若，则全国