数学归纳法与数列极限复习

1课题数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和教学目标1、理解数列极限的概念，掌握极限的四则运算，会求数列极限；2、掌握数学归纳法的步骤，并会用数学归纳法证明相应的命题；3、会求等比数列的各项和。教学内容数学归纳法一．知识点梳理：数学归纳法：数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n取第一个值0n时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k),(0*nkNk时命题成立.在此假设下,证明当1kn时命题也成立是推理的依据;○3结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）:观察归纳猜想推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0nn时成立,注意0n不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二.典型例题：【例1】在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－21成等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆命题意图新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆知识依托新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆采用的方法是归纳、猜想、证明新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆错解分析新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(2)中，Sk=－321k应舍去，这一点往往容易被忽视新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆技巧与方法新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆求通项可证明{nS1}是以{11S}为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆∵an,Sn,Sn－21成等比数列，2∴Sn2=an·(Sn－21)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－32由a1=1，a2=－32,S3=31+a3代入(*)式得新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆a3=－152同理可得新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆a4=－352,由此可推出新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆an=)1()12)(32(2)1(1nnnn(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②假设n=k(k≥2)时，ak=－)12)(32(2kk成立故Sk2=－)12)(32(2kk·(Sk－21)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=321,121kSkk(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1－21),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即knkkaakaakaakkkkkkk由①②知，an=)2()12)(32(2)1(1nnnn对一切n∈N成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)由(2)得数列前n项和Sn=121n,∴S=limnSn=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆练习：1.用数学归纳法证明2nn2(n∈N,n5),则第一步应验证n=;32.用数学归纳法证明:*1111(,1)2321nnnNn时,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是.3、用数学归纳法证明“当n为正奇数时,nnxy能被xy整除”第二步的归纳假设应写成()A.假设*21()nkkN正确,再推23nk正确B.假设*21()nkkN正确,再推21nk正确C.假设*()nkkN正确,再推1nk正确D.假设(1)nkk正确,再推2nk正确4、用数学归纳法证明121*11(,1)1nnaaaanNaa,在验证1n时,左边所得的项为()A.1B.1+aC.21aaD.231aaa5、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2（2k+1）C.112kkD.132kk46、用数学归纳法证明“当*2351,12222nnN时是31的倍数”时,1n时的原式是,从k到1k时需添加的项是。【例2】已知*Nn,证明:nn211214131211nnn212111(该题主要考查了学生应用数学归纳法来证明的掌握情况)练习：1.求证：212131211nn【例3】新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆用数学归纳法证明412n+3n+2能被13整除，其中n∈N*新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5【巩固练习】新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=aan112（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（）A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆30B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆26C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆36D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆63新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]