随机过程2.1-2.2

随机过程第2章概率空间授课人：刘玉婷[e-mail]理学院数学系目录2.1概率空间与随机变量2.2随机变量的数字特征2.3随机向量及其联合分布2.4条件数学期望2.5矩母函数和特征函数目录2.1概率空间与随机变量2.2随机变量的数字特征2.3随机向量及其联合分布2.4条件数学期望2.5矩母函数和特征函数2.1.1概率空间.,.-,,.3,.2.11ii21为可测空间称域上的一个是则称则，若则若，满足：中一些子集组成的集类是若FFFAFAAFAFAFFC一、可测空间2.1.1概率空间.,,,,.31.210,.1,1i1ii21为概率空间称的概率，是事件则称则两两不交，，可列可加性：若规范性：非负性：满足：，上定义一个非负集函数上，在PFAAPAPAPFAAPAPFAPFFi二、概率空间2.1.2随机变量§1随机变量的定义上定义的可测函数称为随机变量.有使得对任意是一可测空间，若函数设,:,RxRfFFxf则称函数f是关于F的可测函数.概率空间PF,,一、离散型随机变量的分布率与性质1)离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量．§2离散型随机变量2.1.2随机变量2)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为，，，，nxxx21,2,1npxXPnn则称上式或X1x2x，nxP1p2p，np为离散型随机变量X的分布律．2.1.2随机变量3)离散型随机变量分布律的性质:;0npn，有对任意的自然数⑴.1nnp⑵2.1.2随机变量4)离散型随机变量的分布函数:RxpxFxxkkk,:1)Bernoulli分布如果随机变量X的分布律为1,0,)1(1kppkXPkkX01P1-pp或则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布．为参数其中10ppBX，记作1~二、一些常用的离散型随机变量2.1.2随机变量2）二项分布如果随机变量X的分布律为nkppCkXPknkkn，，，101为参数为自然数，其中10pn的二项分布，，服从参数为则称随机变量pnXpnBX，记作~2.1.2随机变量进行n重Bernoulli试验，A是随机事件。设在每次试验中qpAPpAP1，令X表示这n次Bernoulli试验中事件A发生的次数．pnBX，则~二项分布的概率背景2.1.2随机变量如果随机变量X的分布律为，，，210!kekkXPk为常数其中0则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布,).(~X记作3）Poisson分布2.1.2随机变量4）几何分布若随机变量X的分布律为，，211kpqkXPk100qpqp，，其中的几何分布．服从参数为则称随机变量pX2.1.2随机变量2.1.2随机变量§3连续型随机变量一、连续型随机变量的概念与性质1)定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度.xdttfxF,)()(由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：.0)(10xf.1)(20dxxff(x)0x1)()(}{312210xFxFxXxPf(x)x01x2x)(.)(2121xxdxxfxx前两个条件是概率密度的充分必要条件2.1.2随机变量处连续，则有在点若xxf)(40xxFxxFxfx)()(lim)(0即xxxXxPx){lim0若不计高阶无穷小，有.)(}{xxfxxXxPxdttfxF,)()().()(xfxF2.1.2随机变量注意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！我们不能认为：！afaXP，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0aXP有连续型随机变量的一个重要特点：2.1.2随机变量二、一些常用的连续型随机变量1)均匀分布若随机变量X的密度函数为其它01bxaabxf上的均匀分布．，服从区间则称随机变量baX记作X~U[a,b]2.1.2随机变量均匀分布的分布函数xbbxaabaxaxxF10abxF(x)01上的均匀分布，，服从区间若随机变量baX的分布函数为则X2.1.2随机变量2)指数分布如果随机变量X的密度函数为000xxexfx的指数分布．服从参数为为常数，则称随机变量其中X0的分布函数为指数分布，则服从参数若随机变量XX0100xexxFx2.1.2随机变量指数分布的性质（无记忆性）对于任意s,t0,有}|{sXtsXP}{},{sXPsXtsXP}{}{sXPtsXP)(1)(1sFtsFstseete}{tXP上式说明，如果已知寿命长于s年，则再活t年的概率与年龄s无关，所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”的。指数分布常用各种“寿命”分布的近似，如无线电元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务系统中的服务时间。0100xexxFx2.1.2随机变量3)正态分布xf(x)0的密度函数为如果连续型随机变量Xxexfx22221，为参数，其中0布．记作的正态分，服从参数为则称随机变量2X.~2，NX2.1.2随机变量标准正态分布为标准正态分布．，，我们称，若1010N数为标准正态分布的密度函xexx22212.1.2随机变量正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．2.1.2随机变量的密度函数为如果连续型随机变量X0001xxexrxfxrr为参数，其中00r，记作：分布．的，服从参数为则称随机变量r~XrX4)-分布2.1.2随机变量，得，则由如果111r000xxexfx的指数分布．这正是参数为分布的一个特例．这说明指数分布是说明：！得，由如果1nnnr00011xxex!nxfxnn重要的分布之一．分布，它是排队论中我们称此分布为Erlang2.1.2随机变量为自然数，则有，其中，如果nnr2120002212122xxexnxfxnn的分布之一．它是数理统计学中重要．分布，记作的为我们称此分布为自由度nn22说明：2.1.2随机变量目录2.1概率空间与随机变量2.2随机变量的数字特征2.3随机向量及其联合分布2.4条件数学期望2.5矩母函数和特征函数一、数学期望定义1）离散型设离散型随机变量X的分布律为：,}{kkpxXP,2,1k1ikkpxEX若级数绝对收敛，则称随机变量X的数学期望存在，记作EX，1ikkpx且数学期望也称为均值。2.2.1数学期望2）连续型设连续型随机变量X的概率密度为，)(xf若积分绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。dxxxf)(dxxxf)(dxxxfEX)(记为2.2.1数学期望说明变化的平均值．的数学期望刻划了XX)1(的数学期望表示的是随机变量由于随机变量X)2(变化的平均值,X因此，只有当级数的求和顺序无关．的和与其级数1nnnpx绝对收敛时，才能保证级数11nnnnnnpxpx2.2.1数学期望二、数学期望的性质niniiiiiEXaXaE11)(，若bXa.bEXa则.)1是常数cccE.)2是常数ccEXcXE)()3bYaXEbEYaEX.,)4EXEYEXYYX独立，则若2.2.1数学期望一、方差的定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用2)()(EXXEXVarDX.称为标准差DX设X是随机变量，若存在，2)(EXXE12)(iiipEXxdxxfEXxDX)()(22)(EXXEDX2)EXX(E来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。称其为随机变量X的方差，记作DX,或Var(X)，即：1）定义：离散型：连续型：2.2.2方差2）方差公式注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。由此式还可得：22EXEXDX2EXXEDX证明：222EXXEXXE222EXEXEXEX2222EXEXEX22EXEX22EXDXEX2.2.2方差二、方差的性质证3）：2)EXX(EDX.)()22DXcdcXD.0,0)1DccDX是常数，则若),)((2)()322EYYEXXabEDYbDXabYaXD相互独立，若YX,)bYaX(D2)]([bYaXEbYaXE2)]()([EYYbEXXaE)])(([2])([])([2222EYYEXXabEEYYbEEXXaE))((222EYYEXXabEDYbDXa.)(22DYbDXabYaXD则2.2.2方差称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。DXEXXY/)(令：0))((EYYEXXE)(bYaXD故：))((222EYYEXXabEDYbDXa.22DYbDXa独立，则若YX,.,1}{04EXccXPDX）则EY=0,DY=1。性质4）的证明将在后面给出。2.2.2方差三、定理：（切比晓夫不等式）)Chebyshev(不等式,EX||22)(||xdxxfx}|{|XP||)(xdxxfdxxfx)()(122222DX则对任意,0;/}|{|22XP有./1}|{|22XP设随机变量X有数学期望,2DX方差证明：(只证X是连续型)2.2.2方差例如：在上面不等式中，取，有：4,322/1}|{|XP这个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件}|{|X8889.0}3|{|XP9375.0}4|{|XP的概率的一种估计方法。2.2.2方差第四章随机变量的数字特征§3.几种重要随机变量的数学期望及方差•两点分布•二项分布•泊松分布•均匀分布•正态分布pppXk1102）二项分布1）两点分布22)(EXEXDX,pEXpqpp2方法1：的两点分布，独立，都服从参数为相互设pXXn,,1nXXX1令,),(~pnBX则.,,2,1,}1{,}0{nipXPqXPii则2.2.3一些重要随机变量的数字特征nkqpCkXPknkkn,,0,}{