您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 电子/通信 > 综合/其它 > 随机过程3(1.3)
七几类重要的随机过程之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类.随机过程可以按照不同的标准进行分类.本讲按照随机过程所具有的一些性质,介绍几类重要的随机过程:统计特征记忆特性分布特征功率谱◆二阶矩过程◆正态过程◆正交增量过程◆独立增量过程◆Wiener过程◆Poisson过程1.二阶矩过程定义若S.P.{X(t),t∈T}的一、二阶矩存在,则称S.P.{X(t),t∈T}是二阶矩过程.Cauchy-Schwarz不等式2(,)(,)(,)uvuuvv222111()nnniiijiijxyxy222()bbbaaafgdxfdxgdx2221/21/2,(())()()1(()1)(())tTEXtEZtEZtEZtEEZt221/2,,()()(()())stTEZsZtEZsEZt二阶矩过程的相关函数具有以下性质注二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在定理:设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,则相关函数RX(s,t)有(1)共轭对称性RX(s,t)=RX(t,s)(2)非负定性对任意t1,t2,…,tn∈T,任意复数λ1,λ2,…,λn有0),(11lklnknlkXttR证明(1)RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=E[X(s)X(t)]=RX(t,s)(2)lklnknlkXttR),(11lklnknlktt)]X()(XE[11_______])X()(XE[11____________llnknlkktt)])X(())X((E[11__________llnknlkktt))]X()()X(E[(11_________lnknllkkttnlllnkkktt1_______________1)]X()X(E[0)(XE21nkkkt2.正态过程补充:n维正态随机变量分布及性质11()()21221()(2)(,)T12nn12xBxnX=(X,X,...,X)nfeBX=(X,X,...,X)BnNBx定义设是维随机变量,如果其联合概率密度函数为则称服从均值向量为,协方差矩阵为的是维正态分布.记X)(,)..12nnkkkk=1X,X,...,XNBYlXl定理设X=(则(1)=服从一维正态分布是常数2).Xmmnm()的(个分量服从维正态分布3)mNCBCTnm()Y=XC(C),服从维正态分布(C,正态过程定义设{X(t),t∈T}是S.P.,若对任意的n≥1及t1,t2,…,tn∈T,{X(t1),X(t2),…,X(tn),}是n维正态随机变量,则称S.P.{X(t),t∈T}为正态过程或高斯过程注意(1)若{X(t),t∈T}是一族正态随机变量,但给定一组正态随机变量{X(t),t∈T}不一定构成正态过程.(2)正态过程的有限维分布由其均值函数与相关函数完全确定.(3)正态过程是二阶矩过程.举例独立的r.v.,且都服从正态分布N(0,σ2),ω是常数.设S.P.()cossin,XtAtBttR试证明该过程是正态过程,并求它的有限维分布.,其中A,B为相互3.正交增量过程定义设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,若对任意的t1t2≤t3t4∈T都有0))](X)(X)()(X)X([(E34___________________12tttt则称S.P.{X(t),t∈T}是一正交增量过程.注:这里X,Y=E[XY]可视为内积若T取为有限区间[a,b],对astb[(()())(()())]0EXsXaXtXs特别的,当X(a)=0时,有[()(()())]0EXsXtXs定理设{X(t),t∈[a,b]}是正交增量过程,且X(a)=0,则(2)ΦX(t)是单调不减函数)),(min(),(tstsRXX],[,bats)()()),(min()),(min(),(2tmsmtsmtsDtsCXXXXX(1)],[,bats4独立增量过程设{X(t),t∈T}是一S.P.如果对3n12,ntttT21321()(),()(),()()nnXtXtXtXtXtXt是相互独立的随机变量,则称{X(t),t∈T}是独立增量过程.以及有如果对于任意st∈T,X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s,而与s,t本身取值无关,则称{X(t),t∈T}为平稳增量过程.如果S.P.{X(t),t∈T}既是平稳增量过程,又是独立增量过程,则称{X(t),t∈T}为平稳的独立增量过程.注不相重叠的时间区间上随机过程增量的统计相依性来定义的,前者增量是互不相关,后者增量是相互独立.1.正交增量过程与独立增量过程都是根据关系正交增量过程不是独立增量过程,而独立增量过程只要有二阶矩存在,且均值函数恒为常数的条件下是正交增量过程.2.对于任意)(X)(X()(X)X(3412tttt与也相互独立Ttttt4321定理独立增量过程的有限维分布函数由其一维分布函数和增量分布函数确定.证明思路由于随机变量的分布函数与特征函数一一对应.只需证独立增量过程的有限维特征函数由其一维特征函数和增量特征函数确定.证明,121Ttttnn及对))(,),(),((21ntXtXtXn维随机变量的的特征函数为1212(,,...,;,,...,)nntttuuu][E))()((11nntXutXuje令)()(,),()(),(112211nnntXtXYtXtXYtXY则nnYYYtXYYtXYtX2121211)(,,)(,)(①代入①式由题意知Y1,Y2,…,Yn独立1212(,,...,;,,...,)nntttuuu][E))()((11nntXutXuje][E))()((2121211nnYYYuYYuYuje][E))()((232121nnnnYuYuuuYuuuje][E232121)()(nnnnYjuYuuujYuuujeee]E[]E[]E[232121)()(nnnnYjuYuuujYuuujeee由Y1Y2,…,Yn的独立性)()()(322121nYnYnYuuuuuuun证毕5Wiener过程称实S.P.{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程,如果(1)(0)0W(2){(),0}Wtt是平稳的独立增量过程.2(3)0,()()~(0,())stWtWsNts定理设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则2(1)0,()~(0,)tWtNt22(2)()0,(),0,(,)(,)min(,),,,0证明(1)由定义,显然成立.(2)由(1)易知有0,)(,0)(2tttDtmWW对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则)]()([E),(tWsWtsRW),min()])([E()]([)]([E0)]([E))]()())(0()([(E))]()()())(0()([(E22222tsssWsWDsWsWsWtWWsWsWsWtWWsW独立性),min((t))(),(),(2tsmsmtsRtsC定理Wiener过程是正态过程.证明设{W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程.则对任意的n≥1,以及任意的nttt210{W(t1),W(t2),…,W(tn)}是n维随机变量由Wiener过程的定义知)()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW相互独立分布,服从))(0()()(121kkkkttNtWtW所以)()()(,),()(),(1121nntWtWtWtWtW是n维正态随机变量.又由于))()(,),()(),((1121nntWtWtWtWtW))(,),(),((21ntWtWtW100100110111所以))(,),(),((21ntWtWtW是n维正态变量.所以{W(t),t≥0}是正态过程.注:{W(t),t≥0}是正态过程,所以是二阶矩过程,又均值函数恒等于零,所以也是正交增量过程.
本文标题:随机过程3(1.3)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3271057 .html