4-2 刚体的定轴转动定律

上一节介绍了定轴转动刚体的运动是如何描述的外界对定轴转动刚体的作用(力)是如何影响其运动的？§4-2力矩转动定律转动惯量一、力矩(力对定轴转动刚体的作用效果)甲丙乙同样大小的力推门甲易、乙难、丙推不开力矩的一般定义:OP:力的作用点MrF力对参考点O的力矩为：力矩为一矢量！！MrF说明：3）力矩是力对某一参考点的而言，同一个力对不同参考点的力矩不同。(定轴转动的刚体力矩一般相对于转动轴)1）力矩单位是N*m，和能量单位J的量纲相同，但物理意义不同。2）力矩的具体计算：力矩的大小：OP:力的作用点=Frsin=FdM是力和位矢的夹角;d为力臂力矩的方向：右手关系d4）定轴转动刚体的力矩hAFF力可以分解为沿着转轴的和转动平面内的FF分力不产生力矩，和刚体沿转轴方向的平移运动有关；分力产生力矩，和刚体的转动有关。因此对于刚体定轴转动：只需要考虑力在转动平面内的分量产生的力矩即可。力矩方向沿着转动轴，因而可以用标量表示。合力矩大小等于分力力矩大小的代数和。力矩是如何影响定轴转动刚体的运动？二、刚体定轴转动的转动定律推导过程(了解)：fkrk刚体动力学质点动力学刚体质点微分把刚体微分成无限多“小块”----质量元(质元)m第k个质元切线方向ktktkktFfmakkkkFfma外力内力在上式两边同乘以rk对所有质元求和fkrk2kkkkkmrrmr2()ktkktkkkkkkFrfrmrktkktkkktkFrfrmarktktkktFfma内力矩之和为0转动惯量J～合外力矩定义：ktkMFr则有：MJfkrkMJ刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。说明：1）转动定律是解决刚体定轴转动问题的动力学方程；2）定轴转动定律来自于牛顿第二定律，其适用范围仍然是惯性系；(它可视为刚体的牛二定律)4）此公式可以推广到刚体一般的转动MJ3）刚体内部的作用力对刚体的运动没有影响。三、转动惯量J质点Fma质点惯性的量度MJ刚体因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。1转动惯量的物理意义2转动惯量的计算rk2kkkJmr若质量连续分布dmrJ2dmrJ2dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布教材P121表4-2几种均匀刚体的转动惯量决定转动惯量的要素：①刚体的质量；②转轴的位置；③刚体的形状。飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？13(2)受力分析(3)建立坐标系(设一正方向)(1)分离物体解题步骤四定轴转动定律的综合应用(4)列动力学方程MJmaF平移：；转动：(5)解方程组例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。解：如图所示，M、m的受力图得知：:mmgTmaaR212MMTRJJMR：＝＝＝MmMgmgTTNaTTMmmghRRv241242MmmghahvgMmma2解方程得：16例2质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)物体B从静止落下距离y时，其速率是多少？17解(1)用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系．ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF181ATmaB2BmgTma21RTRTJaRyO2TBmgBm'2T'1TCPCFAmgOx1TNAm192CBABmmmgmaAB1ABC2mmgTmmmACB2ABC(2)2mmmgTmmm解得：20如令，可得AB12ABmmgTTmm（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayv0CmAB1ABC2mmgTmmmACB2ABC(2)2mmmgTmmm21稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例3一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ22解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NF1sin2mglJ式中231mlJ得3sin2glNFm,lOmgθ23ddddddωωθtθt由角加速度的定义θθlgωωdsin23d代入初始条件积分得)cos1(3θlgωθωωddNFm,lOmgθ例4:一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde解:因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是3200232RegdrrdegdrredrgdmgrMR因m=eR2，代入得mgRM32根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.dtdmRJmgR22132设圆盘经过时间t停止转动，则有0002132dRdtgt由此求得043gRt