9.5空间向量及其运算

19．5共线向量与共面向量一、知识点1、空间向量的定义2、空间向量的加减与数乘运算3、平行六面体的定义和性质4、共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面平行（共面）意义及它们的表示法5、共线向量定理及推论、空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式6、共面向量及推论、空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）7、空间向量基本定理及其推论8、空间向量夹角和模的概念和表示方法9、两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律10、两个向量的数量积的主要用途，用它解决立体几何中的一些简单问题。二、课时安排5课时第一课时：空间向量及其加减与数乘运算教学目标：1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2、会用图形说明空间向量的加法、减法和数乘向量及它们的运算律；3、了解平行六面体的定义和性质；4、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学过程：复习回顾在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向2量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．探索研究1、空间向量的概念⑴定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：①“空间的一个平移就是一个向量”，即“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”。②向量不能比较大小。⑵向量的表示：①几何表示：用有向线段表示②字母表示：用黑体小写英文字母表示3a⑶向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。⑷向量的平移：空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段来表示。说明：①平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移；②平面上，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立。③空间任意两个向量都是共面向量，因此凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）。2、空间向量的运算　加法：OB＝OA＋AB＝a＋b减法：BA＝OA－OB＝a－b数乘：OP＝λa(λ∈R)空间向量加法与数乘向量运算满足如下运算律　1加法交换律：a＋b＝b＋a2加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)3数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb3．平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA。它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。反思应用AACBDBCD4基础演练1、已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，则CDBCAB为（）AA、ADB、BDC、ACD、02、已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则)(21BCBDAB为（）AA、ANB、CNC、BCD、BC213、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,,1111bDAaBA,1cAA则下列向量中与MB1相等的向量是（）AA、cba2121B、cba2121C、cba2121D、cba21214、A1、A2、A3是空间不共线的三点，则133221AAAAAA＝＿；类比上述性质得到一般性结论是＿。0，0113221AAAAAAAAnnn。例1、已知平行六面体ABCD－DCBA化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：⑴BCAB；⑵AAADAB；⑶CCADAB21；⑷)(31AAADAB。解：如图：⑴ACBCAB；⑵AAADAB=CAAAAC；⑶设M是线段CC的中点，则AMCMACCCADAB21；⑷设G是线段CA的三等份点，则AGCAAAADAB31)(31。5向量AGAMCAAC,,,如图所示。巩固训练P27练习1、2例2已知空间四边形ABCD中，G为ΔBCD的重心，化简ADACAB313131，并标出化简结果的向量。（试一试，你能用多少种方法来解这道题）解：由G是ΔBCD的重心，猜想ADACABAG313131事实上，BEABBGABAG32)(31)(31ABACABADABBCBDABADACAB313131例3已知ABCD为正方形，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中的x、y的值。;1PAyPCxPQOQPDPQyPOxPA2解：⑴)(21PCPAPQPOPQOQ，21yx⑵,2POPCPA,2PCPOPA又,2PQPDPCPDPQPC26BACDGPDPQPOPDPQPOPA22)2(2，2,2yx归纳总结1、空间向量的概念2、空间向量的运算3、平行六面体的概念作业：P27练习1、2如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心。求证：1()3AGABACAD第二课时：共线向量与共面向量教学目标：1、了解共线或平行向量概念、向量与平面平行（共面）意义，掌握它们的表示方法。2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；掌握空间直线的向量参数方程和线段中点的向量参数公式；掌握空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）。3、会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式教学难点：对空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式的理解与运用教学过程：复习回顾上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广．在第五章《平面向量》一章，我们还学习了有关平面向量的其它知识，比如说我们在研究两个向量之间的关系时，除了定义了相等的向量，还专门对平行向量或共线向量进行7了研究，请同学们回顾一下怎样的向量称为平行向量或共线向量呢？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．怎样判定向量b与非零向量a是否为共线向量呢？向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求．对这个定理的证明要从两个方面进行：⑴充分性：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线．⑵必要性：若向量a与b共线，a≠0时，设｜b｜:｜a｜＝μ，则当a与b方向相同时，b＝μa；当a与b方向相反时，b＝－μa．所以，有且只有一个实数λ，使b＝λa.这节课我们将要对空间的共线向量以及共面向量加以研究．下面同学们先阅读课本P28～P29前5行．探索研究1、共线向量定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做平行向量或共线向量。记法：b//aba，记作平行于2、共线向量定理文字语言：对空间任意两个向量a//b),0a(b、a的充要条件是存在实数λ使ab符号语言：abaa//b),0a(b、说明：⑴对于空间任意两个向量)0a(b、a①；，使存在唯一实数aba//b（共线向量的性质定理）②。，使存在唯一实数a//bab（共线向量的判定定理）⑵在利用“a//bab，使存在唯一实数”判定b、a所在直线平行时，还需）（或ba上有一点不在）（或ab上；⑶在ab中，对于确定的λ和a表示空间与a平行或共线且长度为|a|所有向量。例1用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半。8已知：如图，ΔABC中，D、E分别为是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，且DE＝BC/2。证明：∵D、E分别为是边AB、AC的中点,21,21ACAEABADBCABACADAEDE21)(21又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE＝BC/2。小结：向量共线定理是证明两条直线平行的常用方法，但要注意，向量平行现直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，因此用“a//bab，使存在唯一实数”判定b、a所在直线平行时，还需）（或ba上有一点不在）（或ab上。3、共线向量定理的推论如果l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式atOAOP，其中向量a叫做直线l的方向向量。证明：,atAPtPl,//＝，满足，存在唯一的实数上的任一点对于al（为什么？）,,OPAPOatOAOPOA，有对空间任意一点又.ABtOAOP,aABl,则有上取若在atOAOPOBOAtOAOBtOAOPOAOBAB)1()(,又说明：⑴空间直线的向量参数表示式①atOAOP②OBOAtOP)1(9③表示式atAP、ABtOAOP既是表示式①、②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式。⑵空间直线的向量参数表示式的特点①表示式atOAOP中，OPatOAAPat,是根据向量加法的三角形法则得到的。②表示式OBOAtOP)1(中，OPOB、、OA的始点相同，且可还原为ABtOAOP,使其仍符合三角形法则。⑶推论的用途：解决三点共线问题的表示或判定。⑷当t＝1/2时，点P为AB的中点，则)(21OBOAOP，它是线段AB的中点公式，（可用向量加法的平行四边形法则加以验证）其本质是向量加法平行四边形法则的一种简化。例2设平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，求证：PEPDPCPBPA4。证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴E为AC、BD的中点，由线段的中点公式得：)(21)(21PDPBPCPAPE)(21PDPBPEPEPDPCPBPA44、共面向量的定义通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：⑴共面向量与共线向量的定义对象不同，但形式相同。⑵向量a与平面α平行是用a所在直线10l与α平行或在α内来定义的，因此//a与直线a//α既有联系也有区别。5、共面向量定理我们知道空间任意两个向量都是共面的（为什么？），那么空间的任意三个向量是否共面呢？观察下面的图形：定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在实数对x、y，使byaxp.证明：先证必要性∵向量p与向量b、a共面，∴表示它们的有向线段可位在同一平面内，于是根据平面向量的基本定理，一定存在实数对(x,y)，使byaxp。再证充分性确定的平面内。