6.1定积分的元素法及其应用(1)

返回上页下页目录2020年1月24日星期五1第6.1节定积分的应用(1)第六章二、定积分在几何学上的应用一、定积分的元素法返回上页下页目录2020年1月24日星期五2曲边梯形的面积:在知识回顾：[,]ab上连续(2)近似——以常代变：(1)分割——化整为零：任意分割成n个长度把[,]ab分别为ix小区间，相应地曲边梯形分成了n个窄曲边梯形，第i个曲边梯形面积为,iA为1niiAA计算iA的近似值：1()([,])iiiiiiAfxxx(4)求极限——得精确值：(3)求和——积零为整：得1()niiiAfxA的近似值：01lim()()(max{})nbiiiaiAfxfxdxx返回上页下页目录2020年1月24日星期五31.什么问题可以用定积分解决?则V等于所有部分之和.1)所求量V是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2）V对区间[a,b]具有可加性,即如果在区间[a,b]一个整体量;上将V分成许多部分,iV3）部分量iV可近似地表示为一、定积分的元素法返回上页下页目录2020年1月24日星期五4这种分析方法成为元素法(或微元分析法)分割区间，任取其一，记2.如何应用定积分求V?第一步根据具体情况选定积分变x，确定变化区间第二步在其上求部分量近似值VdV第三步为积分表达式，在以积分返回上页下页目录2020年1月24日星期五51.平面图形的面积若函数()0fx在[,]ab上连续，()dbaxAfx则以曲线()yfx为底的曲边梯形的面积为[,]ab区间1）若函数()fx在[,]ab上连续，2）二、定积分在几何学上的应用面积为()||dbaxAfx返回上页下页目录2020年1月24日星期五63）两条曲线围城平面图形的面积若函数()fx、()gx在[,]ab上连续，且()()fxgx，()yfx、()ygx及直线xa、xb所()()dbafxgxAxxxdxyxO()yfx()ygxab则由曲线围成的平面图形的面积为面积A的元素为dA()()dfxgxx一般地，由上下曲线()fx、()gx围成平面图形面积为|()()|dbafxxAgx返回上页下页目录2020年1月24日星期五7|()d|dcyAyyydyyxO()xy及直线yc、yd和x轴所围成由曲线的平面图形的面积为面积A的元素为dA()dyy一般地，由左右曲线()y、()y围成平面图形面积为|()()d|dcAyyy()xycd返回上页下页目录2020年1月24日星期五8例1求直线yx与2yx所围成图形的面积.xOy112yxyx解题步骤：（1）画出函数的图形，并求出交点。xdxx2d[]dAxxxdA（3）求定积分（2）写出面积元素120()dAxxx0,1xx231011()|23xx16返回上页下页目录2020年1月24日星期五9例2求抛物线23yx与直线6yx所围成的图形的面积.解法一：xOy23yx6yx(3,3)(12,6)12331203(3(3))d(3(6))dAxxxxxx解法二：623(6)dAyyy36236311(6)|23yyy812812返回上页下页目录2020年1月24日星期五10abxoyx解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba当a=b时得圆面积公式dxx例3求椭圆返回上页下页目录2020年1月24日星期五11设曲线的参数方程为：参数方程描述曲线所围图形的面积：其中[,]在上连续，记(),()ab则由曲线及直线,xaxb所围图形的面积为返回上页下页目录2020年1月24日星期五12求由曲线及围成的曲边扇形的面积.x在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积元素为所求曲边扇形的面积为极坐标的面积公式返回上页下页目录2020年1月24日星期五13例4求曲线2cos(0)aa围成圆的面积.xOy解：因为0，所以ππcos0()22于是得π2π221()d2Aπ222π214cosd2a21π422a2π.a思考曲线2sin(0)aa是什么图形？返回上页下页目录2020年1月24日星期五14设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为xabx()Ax上连续,2.已知平行截面面积的立体的体积返回上页下页目录2020年1月24日星期五15分别为2a,2b和2A,2B.解:,.AaBbxatxbthh例5求一截锥体的体积,其高为h,上下底为椭圆,轴长取截锥体的中心线为t轴,即取t为积分变量,则t的ht变化范围是[0,].h任取一点过t且垂直与x轴的截面面积记为易得所以[2()]6haBAbabAB返回上页下页目录2020年1月24日星期五16轴旋转一周围成的立体体积时,特别,当考虑连续曲线段xoy()yfxa有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有xoy)(yxcx返回上页下页目录2020年1月24日星期五17ayxb所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则2222()daabaxxa223213baxxaaaox例6计算由椭圆返回上页下页目录2020年1月24日星期五18则ttabdsin23222ab321特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积方法2利用椭圆参数方程返回上页下页目录2020年1月24日星期五19并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.Rxyx练习一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,返回上页下页目录2020年1月24日星期五20oRxy此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?(,)xy提示:tan2yx22tan2yRyR0tan2yyRyd22思考:可否选择y作积分变量?返回上页下页目录2020年1月24日星期五21定义若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称三.平面曲线的弧长返回上页下页目录2020年1月24日星期五22sdyxo弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长(1)曲线弧由直角坐标方程给出:返回上页下页目录2020年1月24日星期五23弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttd)()(22(2)曲线弧由参数方程给出:22[()][()]tdttdt返回上页下页目录2020年1月24日星期五24,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(3)曲线弧由极坐标方程给出:()cos()sin,xrttrtt()sin()cos,yrttrtt返回上页下页目录2020年1月24日星期五25解:201dasyx从x=0到x=a一段的弧长.201[()]d2xxaeex例7求悬链线201()d2xxaeex01()d2axxeex1()2aaee返回上页下页目录2020年1月24日星期五26一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02xyoa2例8计算摆线返回上页下页目录2020年1月24日星期五27d222aa0≤≤2一段的弧长.解:x2aorad)()(22rrsdd12ad1202as(课本公式26)212a21ln2102例9求阿基米德螺线相应于返回上页下页目录2020年1月24日星期五28内容小结1.掌握定积分的元素法，2.定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）（3）平面曲线的弧长（三种形式）返回上页下页目录2020年1月24日星期五29作业p1981(1)；3(4);6复习题A