第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式

第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、相关系数与大数定理；下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与期望方差。下次上课前完成作业9，上课时交作业P37---40页重点：方差与协方差难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系xiiixxPxPxXE)()()(1定义：式概括各类情况的均值公dxxxfxxfxxPxXExxfxPxxXxPXiiiiiiiiiiii)()()()(,)()()(11连续，则令若dxxfxgxPxgXgEYEXgYx)()()()()]([)()(时，dxdyyxfyxgyxPyxgYXgEYXgZijjiji),(),(),(),(),(),(时，第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2.中心矩定义2kkXEXEX)()(为X的k阶中心矩。设X是随机变量，则称定义1kkXEX)(为X的k阶原点矩。设X是随机变量，则称1.原点矩)(1XEv显然：3.原点矩与中心矩的关系中间组合数系数末了阶凑；阶正负降，不够,11rr3112332341212134436421220)]([1XEXE回顾：例题中心矩阶原点矩及三阶、四阶的，求服从设随机变量kXeX)(解的概率密度为X0,00,)(xxexfx阶原点矩为的kX00)(dxexdxexXxkxkk01dtettkktxkkkk!)1(31123323阶中心矩为的3X323)1(21!23!332第九讲均值、矩与方差阶中心矩为的4X41212134436442234)1(3)1(!261!34!449332216,2,1vvv一、方差与标准差1.定义背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是（万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2)(XEXEXD.XD离差的平方的数学期望叫做随机变量X的方差,记作随机变量X与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即XEX离差与偏差定义标准差随机变量X的方差的算术平方根叫做随机变量X的标准差或均方差，记作σ(X)，即)()(XDX)()(2XXD或说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式dxxfXExXgEXDX)()()]([)(:2连续变量2.方差计算)]([})({)(2XgEXEXEXD由方差定义：)()()]([)(:12iiixpXExXgEXDX离散变量第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式ijijiiiXiyxpXExxPXExXgEXDX),()()()()]([)(:22二维情况下的离散变量ijijiyxpYEyYgEYD),()()]([)(2同理：dxdyyxfXExdxxfXExXEXEXDXX),()()()(})]({[)(222：二维情况下的连续变量dxdyyxfYEyYEYEYD),()(})]({[)(22同理：22)()()(XEXEXD用均值计算方差定理:22)()()(2)(XEXEXEXE证明：2)()(XEXEXD22)()(2XEXXEXE22)()(XEXE第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解emmXPm!.,2,1,0memmXEmm0!)(emmXEmm022!11!1mmmme例题10-1-1设随机变量，求方差D(X)。PX~3.例题讲解1mk0!1kkkkeeee011!!1kkkkkke12122)()(XEXEXD)()()(222122XEXEvvuXD实际上，例题10-1-2],[~baUX设随机变量，求方差D(X)。.,0;,1其它bxaabxf解其密度函数为dxabxXEba)(.2badxabxXEba22322baba4)(3222bababa12)(2ab22)()(XEXEXD，求其方差与标准差服从指数分布设随机变量eXX~例题10-1-3.,0;0,其它xexfx解其密度函数为第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式dxexXEx0222322221221dtett0221xt22)()(XEXEXD1)(0dxexXEx4.方差性质)(2XDabaXD＝1.定理（1、2）证明baXD2baXEbaXE2)(bXaEbaXE2)(XEXaE22)(XEXaE22)(XEXEa)(2XDa)()()3),()(20)(.12XDaaXDXDbXDCD），推论：第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式定理3)()()(YDXDYXDYX独立，则、若.)()(,,,1121niiniinXDXDXXX独立，则推论：若)()(2)()()(2)()()]()([)2()]([])[()(222222222YEXEYEXEXYEYEXEYEXEXYYXEYXEYXEYXD－证明：)()()()(2)()(2)]()([)]()([)(2222YDXDYEXEYEXEYEYEXEXEYXDYX独立，、)()()(YDXDYXD同理可证：利用定理3，用归纳法可以证明以下推论第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加)()()(XXEXEZE证)()(XXEXE0)()()(XXEXE)()()(XXEXDZD)()(2XXEXD)()(2XXD1)()(22XXX的标准化的随机变量。:Z设随机变量X的数学期望为E(X)，标准差为)(X设随机变量,)()(XXEXZ证明：1)(,0)(ZDZE例10-1-4.均值为0,方差为1的特殊分布第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式则n次试验中事件A发生的次数为：.1niiXX且X1,X2,…Xn相互独立，.1;0pXPqXPii,1100pXPXPXEiii则例10-1-5.二项分布均值与方差的均值与方差，求变量设XpnBX),(~其中：niAiAiXi,,2,1,1,0发生。次试验事件第不发生；次试验事件第第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式,)(xnxxnqpCxpnpXE,,2,1,0nx.1qp解：由已知概率：niiXXAnX1:发生的总次数，故设次独立试验是注意到.11npXEXEXEniinii,1100222pXPXPXEiii,1222pqppppXEXEXDiii由于X1,X2,…Xn相互独立，则.11npqXDXDXDniiniinpqXD求方差D(Y)。例10-1-6(2000)设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,,100=0-1.0XYXX第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式)(,)()()())(()()()(),()()(3123123122iiiiiiiiiiyPyPyyPygYgEYEyPyYEYEYEYD关键是求分析：用公式解,;,1-1230xfx.其它因随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,则,2012(1)(0)33PY==PXdx=(0)(0)0,PY==PX,0-111(1)(0)33PY=-=PXdx=121()=(-1)+00+1=,333EY222212()=(-1)+00+1=1,33EY22218()=()-[()]=1()=.39DYEYEY第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式)(~pGX)1,,2,1()(1qpxpqxpx例题10-1-7.几何分布概率函数11)(mmqmpXE11mmqmp22111)1(1pqqmmm∴1122)(mmqpmXE11])1[(mmqmmmpqqqmm11而pXE1)(∴1111)1(mmmmmqpmqmp第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式22222112)()()(pqpppXEXEXDqqqmm1211而]1[][)1(21111qqqqmmmmmm42222)1()2)(1(2)1)(22(])1(2[qqqqqqqqq33222)1(242222pqqqqqqppmqpmqmpXEmmmm12)1()(211112第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式2pqpXE)(pqXD)(0-1分布),1(~pBX二项分布),(~pnBXnpXE)(npqXD)(泊松分布)(~PX)(XD)(XE均匀分布)(XD2)(baXE＝12)(2ab],[~baUX)(~pGX几何分布)(XDpXE1)(),,(~NMnHX超几何分布)(XD)(XE)1())((2NNnNMNnMNnM)(~eX指数分布)(XD1)(＝XE21常用分布的期望与方差列表第十讲方差、相关系数与切比雪夫不等式解,1101-4=2()=3xdxx+ydy=()()x+yfx,ydxdy设二维随机变量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域G上服从均匀分布,求随机变量U=X+Y的方差.例题10-1-8（2001）GyxGyxyxf),(,0),(,2),()()(YXEUE22()=[()]EUEX+Y2=()()x+yfx,ydxdyGdxdyyx)(2第十讲方差、相关系数与