第十讲 方差,切比雪夫不等式

3.2方差一.定义与性质方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？1.定义若E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).连续型情形离散型情形,)()]([},{)]([)(212dxxfXExxXPXExXDkkk)()(XDX称为r.v.X的标准差可见2.推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2.证明:D(X)=E[X-E(X)]2})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE例1：设随机变量X的概率密度为101011)(xxxxxf1)求D（X）,2)求)(2XD0)1()1()()1(1001dxxxdxxxXE解：61)1()1()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD2242)]([)()()2(XEXEXD1040144)1()1()(dxxxdxxxXE1512261151)(XD18073.方差的性质(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:222)]([)()(aXEXaEaXD222)]([)(XaEXEa})]([)({222XEXEa)(2XDa(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);证明:22)]([}){()(YXEYXEYXD})]([)]()][([2)]({[}2{2222YEYEXEXEYXYXE)()(2)(2)()(YEXEXYEYDXDX与Y独立)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDniniiinXDXDXX111)()(,...独立，则若1.二项分布B(n,p)：nkppCkXPknkkn,...1.0)1(}{npXE)(nkknkppknknkXE122)1()!(!!)(二.几个重要r.v.的方差nkknkppknkkn1)1()!()!1(!nkknkppknknk1)1()!()!1(!)11(nkknknkknkppknknppknknk11)1()!()!1(!)1()!()!1(!)1(nkknknkknkppknknppknkn12)1()!()!1(!)1()!()!2(!1011120222)1()1()1(njjnjjnnllnllnppnCppCnnnppnn2)1()1()1()(222pnppnnppnnXD解法二:设01iX第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则niiXX122)()()(iiiXEXEXDniiXDXD1)()()1()1(1pnpppni)1(2pppp2.泊松分布p()：...,2,1,0,!}{~kekkXPXk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE)(XE由于1)!1()(kkkeXE两边对求导得ekkkk)1()!1(11或ekkk1)!1(或)1()!1(1kkkek)(XD3.均匀分布U(a,b)：.12)()(2abXD21)(XD4.指数分布：5.正态分布N(,2)：.)(2XD思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E（Y2）三.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：;)X(D}|)X(EX{|P2.)X(D1}|)X(EX{|P2大数定律已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式;01.0}|1{|2aaXP令1.001.02a1.02a32.0a方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立切比雪夫不等式