第二章 系统的数学模型(2011第6讲)

复习上一讲内容第6讲石家庄铁道大学机械工程学院2.2系统的传递函数7、典型环节的传递函数①比例环节（放大环节）②一阶惯性环节③微分环节④积分环节⑤振荡环节⑥延迟环节其中，典型环节分别有：一阶微分环节：1)(ssGi纯微分环节：ssG)(二阶微分环节：12)(22sssGlll纯积分环节：ssG1)(一阶积分环节(也称一阶惯性环节)：11)(ssGj二阶积分环节(也称振荡环节)：121)(22sssGkkk延迟环节：sesG)(KsG)(比例环节：2.3系统传递函数方框图及其简化Blockdiagramreduction在系统建模中，对于各个环节，分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的拉氏变换代表其输入、输出，从而形成一种表示系统与外界之间以及系统各变量之间关系的方框图，即所谓系统传递函数方框图，简言之，它是系统中各个环节的传递函数和信号流向的图形表示。与物理结构图区别：微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响，而系统原理图、职能方框图虽然反映了系统的物理结构，但又缺少系统中各变量间的定量关系。结构图或称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。①函数方框图（Block）：由两箭头加一方框组成。指向函数方框的箭头表示输入信号的拉氏变换，离开函数方框的箭头表示输出信号的拉氏变换。方框中为该环节的传递函数。方框的输出为方框输入与该环节传递函数的乘积。1、方框图的构成要素（Componentsofblockdiagram）反馈控制系统的典型结构+-)(1sG++)(sXi)(0sX)(sB)(2sG)(sH)(sE)(sN下面以反馈控制系统的典型结构为例说明：②相加点（SynthesisPoint(Comparingpoint)）：也称综合点或比较点，表示求和运算，对两个或两个以上性质相同的信号进行代数求和，输入可以有两个或多个，但输出是唯一的。有时加号可以省，但减号不可省。③分支点（Derivationpoint/measuringpoint)：也称引出点，它表示把一个信号分成两路或多路输出。由于在信号线上只传递信号，不传递功率，所以每一路输出都与原信号相同。+-)(1sG++)(sXi)(0sX)(sB)(2sG)(sH)(sE)(sN反馈控制系统的典型结构2、建立系统方框图的步骤①建立系统（或元件）标准化的微分方程；②对所建立的微分方程在初始状态为零的条件下进行拉氏变换，并根据各个变换式的因果关系（从输入到输出），分别给出相应的方框图。③从系统的输入量与反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框，将所有中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出量与主反馈信号。例1图2.1.2所示系统下图为电枢控制式直流电机原理图。其中：总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下，u为给定输入，LM为干扰输入，为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为，edi为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。u为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，LM为折合到电机轴上的可列出如下微分方程：ikMMMdtdJkeueRidtdiLmLddd)()()()()()()()()()()(sIksMsMsMsJssksEsUsEsIRLsmLddd对左边各式进行拉氏变换得：按各变量的因果关系，分别绘出上述各式的传递函数方框图如下所示：)()()()()()()()()()()(sIksMsMsMsJssksEsUsEsIRLsmLddd(a)(b)(d)+_(c)图2.3.1环节传递函数RLs1)(sU)(sI)(sEd+_Js1)(sM)(sML)(sdkmk)(sEd)(s)(sI)(sM(a)(b)(d)+_(c)图2.3.1环节传递函数RLs1)(sU)(sI)(sEd+_Js1)(sM)(sML)(sdkmk)(sEd)(s)(sI)(sM+-+-RLs1mkJs1dk)(sU)(sEd)(s)(sI)(sM)(sML图2.3.2系统传递函数框图然后，将各传递方框图按信号的传递关系连接起来，便得到如图2.3.2所示的传递函数方框图。实际系统，特别是自动控制系统的传递函数方框图，可能含有多个反馈回路，甚至出现交叉连接的复杂情况。为了获得系统的传递函数，以便于对系统进行分析和计算，需要利用等效变换的原则，对系统的方框图加以简化。常用的结构图变换方法有两种：环节的合并；信号分支点或相加点的移动。结构图变换遵循的原则：变换前后数学关系保持不变，即有关部分的输入量、输出量间的关系保持不变。3、传递函数方框图的等效变换BlockDiagramTransformations环节与环节首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输入。由串联环节组成的系统，当忽略其负载效应时，等效环节的传递函数为各个环节(可以推广到N个)的传递函数之积，如下图所示：⑴环节的合并在控制系统的结构图中，环节的连接方式主要有串联、并联和反馈连接三种。①串联环节的等效（Combiningblocksincascade）：)()()()()()()()()()()()(321201210sGsGsGsXsXsXsXsXsXsXsXsGii)(1sG)(2sG)(3sG)(2sX)(sXi)(1sX)(sXo②并联环节的等效（ParallelConnectionofBlocks）两个或多个环节的输入相同，而输出量为各个环节输出量的代数和。其等效传递函数即为各传递函数的代数和（可推广到N个），如下图所示：)()()()()()()(2121sGsGsXsXsXsXsGii)(1sG)(2sG)(2sX)(sXi)(1sX)(sXo±③反馈连接的等效（Eliminatingafeedbackloop）)(sG和)(sH所示的方法连接，称为反馈连接。反馈信号若取)(sB加号表示正反馈；取减号则表示负反馈。传递函数分别为的两个环节，若按右图)(sG)(sH)(sB)(sXi)(sE)(sXo-)()(1)()()()(0sGsHsGsXsXsGiB几个重要的概念前向通道传递函数--输出与偏差之比：)()()(0sEsXsG反馈回路传递函数--反馈与输出之比：)()()(0sXsBsH开环传递函数--在相加点处将反馈回路断开，则闭环)(sE作为输入，经、sG)()(sH而产生输出)(sB，此时的开环传递函数为：系统成为开环系统，它以)()()()()(sHsGsEsBsGK)(sG)(sH)(sB)(sXi)(sE)(sXo闭环系统传递函数)(sG)(sH)(sB)(sXi)(sE)(sXo-对于闭环系统，由于有：)()()(0sEsGsX)()()(0sXsHsB；sBsXsEi)()()(故有：)]()()()[()(00sXsHsXsGsXi得闭环系统传递函数)()(1)()()()(0sGsHsGsXsXsGiB可以看出，闭环传函为前向通道传函除以1加（或减）前向通道传函与反馈回路传函之积。当H(s)=1时有)(1)()()()(0sGsGsXsXsGiB，此时闭环系统为单位反馈系统。思考题：开环传递函数量纲？哪二者的量纲互为倒数？⑵信号分支点和相加点的移动和互换在某些系统的结构图中，往往是串联环节、并联环节和反馈环节交叉在一起，无法用前面所介绍的方法进行简化，这时，需要采用移动分支点和相加点的方法，来消除各种交叉连接。①信号相加点的移动和互换（三种情形）Movingasummingpoint)(sG)(2sX)(1sX)(sXo-)(sG)(2sX)(1sX)(sXo-)(sG)(sG)(2sX)(1sX)(sXo-)(2sX)(sXo)(sG)(1sX-)(1sG)(2sX)(1sX)(sXo-)(3sX-)(2sX)(1sX)(sXo-)(3sX-后移前移互换②分支点的移动和互换（三种情形）Movingapickoffpoint)(sG)(1sX)(1sX)(sXo)(sG)(1sX)(1sX)(sXo)(1sG)(sG)(sXo)(1sX)(sXo)(sG)(1sX)(sXo)(sG)(sXo)(sXo)(sXo)(sXo)(sXo)(sXo)(sXo后移前移互换注：相邻的相加点可以互换，相邻的分支点也可以互换，但相邻的交叉点和分支点彼此不能互换。综上，基于方框图的运算规则有：方框的交换串联相乘并联相加去反馈环非单位反馈变成单位反馈去反馈环)(sG)(sH)(sXi)(sXo)()(1)(sGsHsG)(sXo)(sXi非单位反馈变成单位反馈)(sG)(sH)(sXi)(sXo)()(sHsG)(1sH)(sXi)(sXo⑶传递函数方框图简化的一般步骤①确定系统的输入量和输出量；②根据各回路交叉情况分以下两种情况进行处理：(Ⅰ)：若其传递函数方框图中的多个回路无交叉，只存在大环套小环的形式，则对单输入、单输出系统，可按方框图的三个等效规则，依照先里后外的顺序进行简化，直到简化成一个方框的形式；对单/多输入、单/多输出系统要分别进行处理。第5讲(Ⅱ)若其传递函数方框图中有交叉的多个回路，则用以下方法进行简化：整个系统方框图中只有一条前向传递通道；各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件时可以直接用以下的梅逊公式求解：][1)()()(0递函数之积每一反馈回路的开环传积前向通道的传递函数之sXsXsGi若系统的传递函数方框图不同时满足上面的两个条件，则用以下两种方法进行简化：通过相加点和分支点的前后移动，将方框图转化到同时满足上面两个条件，然后用梅逊公式法处理；可以通过相加点和分支点的移动，消除方框图中的交叉回路，然后按从里到外的顺序，变换成单一回路或单一方框的形式，写出其传递函数。例1以图2.3.5为例，简化一个三环回路的方框。法1：利用移动相加点和分支点的方法来进行化简。1G1H)(sXi)(sXo2G3G2H)(sB)(sE1G1H)(sXi)(sXo2G3G12GH)(sB)(sE移动相加点化简得：121211HGGGG)(sXi)(sXo3G12GH)(sB)(sE2321213211HGGHGGGGG)(sXi)(sXo)(sB)(sE3212321213211GGGHGGHGGGGG)(sXi)(sXo化简得：化简得：思考题：1、可不可用移动分支点方法，如何处理？2、用以下移动方法是否可以，为什么？1G1H)(sXi)(sXo2G3G2H)(sB)(sE1G1H)(sXi)(sXo2G3G22GH)(sB)(sE法2:整个方框图中只有一条前向通道，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框，可用公式法求之。例2利用方框图的等效变换求取图2.3.6所示系统的传递函数。（简化过程略。）1G3H)(sXi)(sXo2G3G2H)(sE1H2.4自动控制系统的传递函数自动控制系统在工作过程中，常会受到两种输入信号的作用，一类是给定的输入信号，一类是扰动信号，即干扰信号。给定输入通常加在系统的输入端，而干扰信号一般作用在被控对象上，或出现在其它系统部件上。常用反馈控制系统的典型结构图如图2.4.1所示：)(1sG)(sH)(sB)(sXi)(sE)(sXo-)(2sG+图2.4.1常用反馈控制系统的典型结构图)(1sG)(sH)(sB)(sXi)(sE)(sXo-)(2sG+1、开环传递函数)()()()()()(21sHsGsGsEsBsGK2、闭环传递函数①给定输入下闭环传函)()()