注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足.

微分中值定理及其应用第六章数的单调性拉格朗日中值定理和函第一节理罗尔定理与拉格朗日定一罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在0)(,,),(.ffbaff故由费马定理推知可导处在点内可导在又的极值点是从而注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,];2,2[,xxy,,)0(]2,2[的一切条件满足罗尔定理不存在外上除在f.0)(2][-2xf使内找不到一点能，但在区间;0,0]1,0(,1xxxy].1,0[,xxy又例如,几何解释:xyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CAB12Cab拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.证分析:).()(bfaf条件中与罗尔定理相差弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线.,两端点的函数值相等所得曲线ba作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfxF,)(满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使得内至少存在一点则在0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或拉格朗日中值公式几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧ab12xxoy)(xfyABNM).()(:bfaf去掉了与罗尔定理相比条件中注意).()()(fabafbf结论亦可写成.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf推论1例1).11(2arccosarcsinxxx证明证]1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)11(11)(22xxxf.0]1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx例2.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即).(lim)(,,)(lim,)(,)()(3)()()(,)()(),()(,20000000xfxfxfxfxUxUxfccxgxfxgxfIxgxfIgfxxxx且可导在点则极限存在且内可导在内连续的某邻域在点设函数导数极限定理推论为某一常数即只相差某一常数与上则在区间且上可导均在区间和若函数推论单调函数二单调性的判别法).0(0)()()(,)(xfIxfIxfy的充要条件是减递增上在则上可导在设函数xyoxyo)(xfyabAB)(xfy定理.0))(()()(,),(,),(,,0)()(,.0)(,.0)()(,,,12122121210000000上为增函数在由此证得使得存在应用拉格朗日定理设则对任意上恒有在区间若反之即得令有时当则对每一为增函数若证IfxxfxfxfIxxxxIxxxfIxfxfxxxxxfxfxxIxf.0)(),()();0)((0)(),,()()(),(,),(不恒为内的任何子区间上在有对一切的充要条件是：递减递增内严格在则内可导在若函数定理xfbaiixfxfbaxibafbaf).(),0)((0)(,严格递减上严格递增在则若上可微设函数在区间推论IfxfxfI问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．单调区间求法.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf方法:例3解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[,0)(xf例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,,3xy,00xy.),(上单调增加但在