风险价值VaR内容及计算

Copyright@WangPeng，20101/64市场风险：风险价值VaRCopyright@WangPeng，20102/64引言金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体风险的完整图像。Copyright@WangPeng，20103/64引言风险价值VaR（ValueatRisk）是试图对金融机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构所面临的整体风险。VaR最早由J.P.Morgan投资银行提出，随即被各大银行、基金等金融机构采用。Copyright@WangPeng，20104/64引言目前，VaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和操作风险的资本金。本章内容：－VaR的概念－VaR的计算例子－VaR与ES－VaR与资本金－VaR中的参数选择－后验分析（Backtestinganalysis）Copyright@WangPeng，20105/645.1VaR的定义VaR：我们有X％的把握，在未来T时期内，资产组合价值的损失不会大于V。V：资产组合的VaRVaR是两个变量的函数：持有期T和置信度X%VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布得出。Copyright@WangPeng，20106/645.1VaR的定义当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100-X)%分位数的负值Copyright@WangPeng，20107/645.1VaR的定义当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X%分位数。例：当T=5，X=97%时，VaR对应于投资组合在5天后收益分布的3％分位数的负值，也对应于投资组合在5天后损失分布的97％分位数。Copyright@WangPeng，20108/645.2VaR的计算例子Example1假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。由正态分布的性质可知，收益分布的1％分位数为2-2.33×10，即-21.3。因此，对于6个月的时间期限，在99％置信度下的VaR为21.3（百万美元）。Copyright@WangPeng，20109/645.2VaR的计算例子Example2假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为1％。因此，在1年后，基于99％置信度的VaR为4900万美元。Copyright@WangPeng，201010/645.2VaR的计算例子Example3一个1年期项目，有98％的概率收益200万美元，1.5％的概率损失400万美元，0.5％的概率损失1000万美元。Copyright@WangPeng，201011/645.2VaR的计算例子在这样的累积分布下，对应于99％累积概率的损失为400万美元。VaR＝400万美元可以这样描述：我们有99％的把握认为在未来1年后该项目损失不会超过400万美元。Copyright@WangPeng，201012/645.2VaR的计算例子Example4续上例，试求99.5％置信度下的VaR上图显示，介于400万美元和1000万美元中的任何损失值出现的可能性都不超过99.5％。VaR在这一情形下不具备唯一性一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值，即99.5%置信度下的VaR为700万美元。Copyright@WangPeng，201013/645.3VaR与ES在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理任意都应关心的问题。VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大为简化。另外，VaR也比较容易进行后验分析（Backtestinganalysis）。Copyright@WangPeng，201014/645.3VaR与ES然而，VaR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内99％的VaR额度为1000万美元，该交易员可以构造某一资产组合，该组合有99.1％的可能每天的损失小于1000万美元，但有0.9％的可能损失5000万美元。这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交易员使银行承担了不可接受的风险。Copyright@WangPeng，201015/645.3VaR与ES交易员所追求的概率分布：Copyright@WangPeng，201016/645.3VaR与ES许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使我的交易无法进行”。Copyright@WangPeng，201017/645.3VaR与预期损失预期损失ES一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为预期损失－ES（Exceptedshortfall），有时又被称为“条件VaR”（conditionalVaR）、“条件尾部期望（conditionaltailexpectation）”、“尾部损失”（tailloss）。ES：超过VaR的损失期望值1qqtttttESErrVaRCopyright@WangPeng，201018/645.3VaR与预期损失ES也是两个变量的函数：持有期T和置信度X。例如，当X＝99，T＝10天时，VaR＝6400万美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元时的期望值。ES比VaR更符合风险分散原理。Copyright@WangPeng，201019/645.3VaR与预期损失ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观；较难进行后验分析。ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。Copyright@WangPeng，201020/645.4VaR和资本金VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在未来10天99％VaR的若干倍数；对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9％的置信度。Copyright@WangPeng，201021/645.4VaR和资本金对于99.9％的置信度和1年时间，某个组合的VaR为5000万美元，这意味着在极端条件下（理论上，每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损失会超过5000万美元。也就是说，我们有99.9％的把握认为，持有该组合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资本金。如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度选择吗？Copyright@WangPeng，201022/645.4VaR和资本金Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该满足：（1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风险测度值一定要大于B组合的风险测度值；含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。Copyright@WangPeng，201023/645.4VaR和资本金（2）转换不变性（Translationinvariance）：如果在交易组合中加入K数量的现金，则风险测度值必须减少K；含义：如果在组合中加入K数量的现金，则该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可以减少K。Copyright@WangPeng，201024/645.4VaR和资本金（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数量的n（n0）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍；含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也应该放大两倍。Copyright@WangPeng，201025/645.4VaR和资本金（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之和。含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于集中化投资的风险。VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远满足条件（4）。Copyright@WangPeng，201026/645.4VaR和资本金Example5假定两个独立的贷款项目在1年内均有2％的概率损失1000万美元，同时均有98％的概率损失100万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、置信度为97.5％下的VaR均为100万美元。将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.02×0.02＝0.0004的概率损失2000万美元，有2×0.02×0.98＝0.0392的概率损失1100万美元，有0.98×0.98＝0.9604的概率损失200万美元。Copyright@WangPeng，201027/645.4VaR和资本金在时间期限为1年，97.5％的置信度下，贷款组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的VaR之和为200万美元。贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元违反次可加性Copyright@WangPeng，201028/645.4VaR和资本金Example6考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的贷款，每笔贷款的违约率均为1.25％。当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回收率介于0～100％的可能性均等。当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美元。Copyright@WangPeng，201029/645.4VaR和资本金假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违约。首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25％。如果发生违约，损失均匀地介于0～1000万美元，这意味着损失大于零的概率为1.25％；损失大于500万的概率为0.625％；损失大于1000万的概率为零。01000概率：1.25％Copyright@WangPeng，201030/645.4VaR和资本金1年期99％的VaR是多少？要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。设该损失值为X，有：解得：X＝200。对单笔贷款，VaR＝200（万美元）10001.25%1%1000XCopyright@WangPeng，201031/645.4VaR和资本金综合考虑两笔贷款。由于每笔贷款的违约概率均为1.25％，且两笔贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为2.5％。违约触发的损失介于0～1000万美元的概率为均等。Copyright@WangPeng，201032/645.4VaR和资本金贷款组合99％的VaR是多少？要求99％的VaR，需要找出概率为1％的损失值。设该损失值为X，有：解得：X＝600（万美元）10002.5%1%1000XCopyright@WangPeng，201033/645.4VaR和资本金由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20万美元，因此将这一盈利考虑在内，可得贷款组合1年期99％的VaR＝580万美元。单笔贷款的VaR之和＝200＋200＝400（万美元）这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效应”的论断相悖。Copyright@WangPeng，201034/645.5满足一致性条件的风险度量满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件的风险测度被称为“一致性风险测度”VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测度Ex