控制方程计算流体力学基础

计算流体力学基础ComputationalfluidDynamics2第二章流体力学的控制方程流动模型物质导数连续方程（ContinuityEquation）动量方程（MomentumEquation）能量方程（EnergyEquation）边界条件连续介质流动模型有限控制体（FiniteControlVolume)无穷小流体微团(InfinitesimalFluidElement)1、有限控制体模型a)空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体b)随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内流动模型2、无穷小流体微团模型a)空间位置固定的无穷小微团，流体流过微团b)沿流线流动的无穷小微团，其速度等于流线上每一点的当地速度流动模型物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）,,,,,,,,,,,,uvwuuxyztvvxyztwwxyztxyztVijk流体微团在流场中的流动1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）1111122222Point1Point2,,,,,,xyztxyzt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）21212121111211(High-orderterms)xxyyzzxyzttt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）21212112121211211121(High-orderterms)xxyyttxttyttzzzttt212121limttDttDt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）（运动流体微团的时间变化率）代表流体微团密度在固定点1的时间变化率DDtt代表流体微团通过1点时，流体微团密度的瞬时时间变化率物理含义与数值均不同212121212121212121limlimlimttttttxxuttyyvttzzwtt物质导数与速度散度1物质导数（SubstantialDerivative）DuvwDttxyz笛卡尔坐标下DuvwDttxyz物质导数物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）xyzijk()DDttV（1）以向量的型式表示物质导数，对任意坐标系都成立（2）物质的导数可以用于任何流场变量，比如、等等。DpDtDTDt物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）()DDttV当地导数它在物理上是固定点处的时间变化率迁移导数它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性引起的时间变化率当地导数/LocalDerivative迁移导数/ConvectiveDerivative物质导数与速度散度1、物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数物理含义：流体微团经过流场中某一点时，微团温度的时间变化率，一部分是该点处流场温度本身随时间的涨落；另一部分则是由于流体微团正在流向流场中温度不同的另一点（迁移导数）()DTTTDttTTTTuvwtxyzV物质导数与速度散度1、物质导数（SubstantialDerivative）示例：人走过山洞物质导数本质与全微分相同,,,xyztddxdydzdtxyztddxdydzdttxdtydtzdtuvwtxyz连续性方程（ContinuityEquation）空间位置固定的有限控制体模型随流体流动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体流动的无穷小微团模型四种方程的转化连续性方程（ContinuityEquation）1、空间位置固定的有限控制体模型通过控制面Sc流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率0ccccVSdVdtVSBC连续性方程（ContinuityEquation）1、空间位置固定的有限控制体模型cnVdSdVSccSBdVSccVmdV1、空间位置固定的有限控制体模型ccVdVCtccccSVddVtVS0ccccVSdVdtVS连续性方程（ContinuityEquation）连续性方程（ContinuityEquation）2、随流体运动的有限控制体模型考虑控制体随流体运动时质量m是一个常数。其物质导数等于0。c0VDdVDtCccVmdV连续性方程（ContinuityEquation）3空间位置固定的无穷小微团模型3、空间位置固定的无穷小微团模型连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型X方向净流出量()()()uuudxdydzudydzdxdydzxx连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型Y方向净流出量()()()vvvdxdydzvdydzdxdydzyy连续性方程（ContinuityEquation）连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型Z方向净流出量()()()连续性方程（ContinuityEquation）3、空间位置固定的无穷小微团模型净质量流量=uvwdxdydzxyz()()()++而微团内质量增加的时间变化率为()dxdydzdxdydztt两者相等0Vt连续性方程（ContinuityEquation）4、随流体运动的无穷小微团模型cmV与随流体运动的流体微团，它的质量变化对时间的变化率为00DmDt连续性方程（ContinuityEquation）4、随流体运动的无穷小微团模型0cccDVDVDVDtDtDt10ccDVDDtVDt0DDtV连续性方程（ContinuityEquation）四种方程的转化空间位置固定的流动模型导出的方程定义为守恒型方程连续性方程（ContinuityEquation）积分方程→偏微分方程0ccccVSdVdtVSccccSVddVVSV0ccccVVdVdVtV0ccVdVtV0Vt守恒形式→非守恒形式连续性方程（ContinuityEquation）VVV守恒形式→非守恒形式连续性方程（ContinuityEquation）VVV0VttVV0DDtV连续性方程（ContinuityEquation）四种方程的转化结论：四种方程是同一个方程（连续性方程）的四种不同的形式，区别在于每个方程中的各项都有略微不同的物理含义。动量方程（MomentumEquation）动量方程推导的基本物理学原理：mFa本节采用运动流体微团模型进行推导，其它3种方式也可以导出不同形式的动量方程，但太繁琐动量方程（MomentumEquation）运动流体微团模型示意图动量方程（MomentumEquation）作用于流体微团上的力的总和＝微团质量×微团运动时的加速度仅考虑x方向的分量xxFmax方向受到的力体积力表面力()xfdxdydz表面压力切应力、正应力动量方程（MomentumEquation）推出x方向总表面力xxxxxxyxyxyxzxzxzxpppdxdydzxdxdydzxdydxdzydzdxdyzx方向总力：()yxxxzxxxpFdxdydzfdxdydzxxyz动量方程（MomentumEquation）动量方程（MomentumEquation）方程右边：mdxdydzxDuaDt综合得到：yxxxzxxDupfDtxxyz同样，y、z方向的方程：xyyyzyyDvpfDtyxyzyzxzzzzDwpfDtzxyz动量方程（MomentumEquation）为了更好的了解动量方程的物理含义，将牛顿第2定律表示如下：可更好的理解方程中各项的物理含义。动量方程（MomentumEquation）运用牛顿流体的假设，可以从以上得到的动量方程形式导出著名的Navier-Stokes方程（仅写出x方向）2()()()()2()()xuuuvuwtxyzpVxtxvuuwfyxyzzx具体推导过程见后页动量方程（MomentumEquation）Navier-Stokes方程（x方向）yxxxzxxDupfDtxxyz以上动量方程左边写成：DuuuDttV()()()DuuuuDtttVV()uuuttt()-()u=uuVVV由：连续性方程的左边，等于0NEXT动量方程（MomentumEquation）Navier-Stokes方程（x方向）()()DuuuDttV()()yxxxzxxupuftxxyzV此方程就是Navier-Stokes方程的守恒型式。（x方向）17世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率，也就是速度梯度，是成正比的。这样的流体称为牛顿流体。对与这样的流体，斯托克斯1845年得到：NEXT动量方程（MomentumEquation）Navier-Stokes方程（x方向）()2xxuxV()2yyvyV()2zzwzV()xyyxvuxy()xzzxuwzx()yzzywvyz其中是分子粘性系数，是第二粘性系数，斯托克斯提出假设23得到完整的Navier-Stokes方程的守恒型式。（x方向）NEXT动量方程（MomentumEquation）2()()()()2()()xuuuvuwtxyzpVxxxvuuwfyxyzzx