符号数学运算

哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出１、代数多项式运算多项式是代数学中最基本的表达式，下面分类给出关于它的各种数学运算。基本运算•Expand[poly]将多项式poly展开为乘积与乘幂•Expand[poly,expr]只展开poly中与expr相匹配的项•Factor[poly]对多项式poly进行因式分解•FactorTerms[poly]提取多项式poly中的数字公因子•Collect[poly,x]以x为变量，按相同的幂次排列多项式poly•Collect[poly,{x,y,…}]同上，但以x,y为变量•PowerExand[expr]将expr中的(xy)^p变为x^p*y^p，(x^p)^q变为x^(p*q)哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出请见下面的例子多项式的结构•Length[poly]列出多项式所含的项数•Exponent[expr,form]给出expr中关于form的最高幂次•Coefficient[expr,form]给出expr中关于form的系数•Coefficient[poly,form]以form为变量，将poly前面的系数按幂次由小到大顺序用集合形式列出哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出下面是计算实例t=Expand@H2a+3xL^3H4x+5yL^2D;t128a3x2+576a2x3+864ax4+432x5+320a3xy+1440a2x2y+2160ax3y+1080x4y+200a3y2+900a2xy2+1350ax2y2+675x3y2Collect@t,xD432x5+200a3y2+x4H864a+1080yL+x3H576a2+2160ay+675y2L+x2H128a3+1440a2y+1350ay2L+xH320a3y+900a2y2LCoefficient@t,x^3D576a2+2160ay+675y2CoefficientList@t,yD8128a3x2+576a2x3+864ax4+432x5,320a3x+1440a2x2+2160ax3+1080x4,200a3+900a2x+1350ax2+675x3FactorTerms@t,yDH8a3+36a2x3+54ax6+27x9LH16x2+40xy+25y2L哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出多项式的四则运算•PolynomialQuotient[poly1,poly2,x]求poly1除以poly2的商,其中poly1与poly2均以x为变量，其结果舍去余式•PolynomialRemainder[poly1,poly2,x]求poly1/poly2的余式•PolynomialGCD[poly1,poly2]求poly1与poly2的最大公因式•PolynomialLCM[poly1,poly2]求poly1与poly2的最小公倍式•FactorTerms[poly]提取poly中所有项的公因子•FactorTerms[poly,x]以x为变量，提取公因子•FactorList[poly]以集合形式给出poly的公因子•InterpolatingPolynomial[{{x1,y1},{x2,y2},…},x]求通过数据点(x1,y1),(x2,y2),…且以x为变量的拉格朗日插值多项式哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出下面是关于多项式四则运算的例子p1:=4-3x^2+x^3;p2:=4+8x+5x^2+x^3;8Factor@p1D,Factor@p2D8H-2+xL2H1+xL,H1+xLH2+xL28PolynomialGCD@p1,p2D,PolynomialLCM@p1,p2D81+x,H4-4x+x2LH4+8x+5x2+x3LPolynomialQuotient@Hx^2+1Lp1,p2,xD33-8x+x2PolynomialRemainder@p1,p2,xD-8x-8x2d=88-2,4,8-1,1,80,0,81,1,82,4;InterpolatingPolynomial@d,xD4+H-2+xLH2+xLSimplify@%Dx2哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出有理多项式运算•Numerator[expr]给出表达式expr的分子部分•ExpandNumerator[expr]只将表达式expr中的分子部分展开•Denominator[expr]给出表达式expr的分母部分•ExpandDenominator[expr]只将表达式expr中的分母部分展开•Expand[expr]只展开表达式expr的分子，并将分母分成单项•ExpandAll[expr]同时展开表达式expr的分子与分母•Together[expr]将多个有理分式进行通分运算•Apart[expr]将有理分式expr分解为一系列最简分式的和•Cancel[expr]约去有理分式expr分子与分母的公因子•Factor[expr]对expr进行因式分解下面是有关有理多项式运算的例子。哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出t=Hx-1L^2H2+xL?HH1+xLHx-3L^2L;Expand@tD2H-3+xL2H1+xL-3xH-3+xL2H1+xL+x3H-3+xL2H1+xLExpandAll@tD29+3x-5x2+x3-3x9+3x-5x2+x3+x39+3x-5x2+x3Together@%D2-3x+x39+3x-5x2+x3Apart@%D1+5H-3+xL2+194H-3+xL+14H1+xLFactor@%DH-1+xL2H2+xLH-3+xL2H1+xL哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出表达式的化简•Simplify[expr]化简expr，使其结果的表达式最短•FullSimplify[expr]同上，但将结果表达式中的所有函数展开•Simplify[expr,assum]根据假设assum化简expr，使其结果的表达式最短•FullSimplify[expr]根据假设assum化简expr，但将结果表达式中的所有函数展开对于化简表达式，上面的两个命令差不多，但大部分情况下，我们更愿意用FulSimplify[]，通过下面的例子，你可以看出它确实比Simplify[]好一点。另外,assum是一个逻辑表达式,例如x0,y1,或者是对表达式中元素的范围界定,例如Element[x,Reals]等等哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出Simplify@Cos@xD^2-Sin@xD^2DCos@2xD8Simplify@Gamma@1+nD?nD,FullSimplify@Gamma@1+nD?nD:Gamma@1+nDn,Gamma@nDSimplify108108x45x240x310x44x5x62x21x3x3Simplify4x21x1x123x2x123x2x2,0x11Simplify21n24nn,nIntegers2nSimplify1x211x2,x1x11哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出２、三角函数运算虽然Simplify及FullSimplify命令也能对三角函数表达式进行化简，但功能有限，在大部分情况下，我们对三角函数就使用以下命令。•TrigExpand[expr]展开倍角及和差形式的三角函数•TrigFactor[expr]用倍角及和差形式表示三角函数•TrigFactorList[expr]给出每个因式及其指数的列表•TrigReduce[expr]用倍角化简expr，使其结果的表达式最短•TrigToExp[expr]使用欧拉公式将三角表达式化成复指数形式•ExpToTrig[expr]将复指数形式的表达式化成三角函数形式表达式下面是三角函数运算的例子。哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出t=Sin@3yDCos@2x+yD-Cos@3xD;t1=TrigExpand@tD-Cos@xD3-Cos@xDCos@yD2Sin@xD+Cos@xDCos@yD4Sin@xD+3Cos@xDSin@xD2+Cos@xD2Cos@yDSin@yD+2Cos@xD2Cos@yD3Sin@yD-Cos@yDSin@xD2Sin@yD-2Cos@yD3Sin@xD2Sin@yD+Cos@xDSin@xDSin@yD2-6Cos@xDCos@yD2Sin@xDSin@yD2-2Cos@xD2Cos@yDSin@yD3+2Cos@yDSin@xD2Sin@yD3+Cos@xDSin@xDSin@yD4t2=TrigFactor@t1D12H-2Cos@3xD-Sin@2x-2yD+Sin@2x+4yDL8t3=TrigReduce@t1D,t4=TrigReduce@t1-t2D:12H-2Cos@3xD-Sin@2x-2yD+Sin@2x+4yDL,0t5=TrigToExp@tD-12-3?x-12?3?x+14??2?x-2y-14??-2x+2y+14-2x-4y-142x+4yFullSimplify@%D-Cos@3xD+Cos@2x+yDSin@3yD哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出３、复数运算Mathematica中的复数运算与其它数学运算没有什么区别，下面是有关复数运算的数学函数，其中I为系统内部变量，表示复数虚部。•x+Iy,Re[z],Im[z],Abs[z],Conjugate[z],Arg[z]以上分别为复数,实部，虚部，模，共轭复数，辐角主值•ComplexExpand[expr]展开expr,并假设expr中所有变量都是实数•ComplexExpand[expr,{x1,x2,…}]展开expr,假设x1,x2为复数•Mathematica的大部分内部函数，都是基于复数的，比如三角函数、指数与对数函数、贝塞尔函数等。哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出8z=H3+6IL?H7-IL^2,Abs@zD,Re@zD,Im@zD,Conjugate@zD,Arg@zD:3125+33?250,310?5,3125,33250,3125-33?250,ArcTanB112FComplexExpand@Tan@2x+I*3yDDSin@4xDCos@4xD+Cosh@6yD+?Sinh@6yDCos@4xD+Cosh@6yDz=.;ComplexExpand@Sin@zDExp@xD,zDxCosh@Im@zDDSin@Re@zDD+??xCos@Re@zDDSinh@Im@zDD哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出４、方程求解•Solve[lhs==rhs,x]求出x的解•Solve[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}]求联立方程组x,y,…的解•Reduce[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}]同上，但给出方程组所有可能的解，包括平凡解•Eliminate[{lhs1==rhs1,lhs2==rhs2,…},{x,y,…}]消去方程组中的变量x,y,…•expr/.solution将解solution应用于表达式expr•Solve[]是求解方程或方程组的非平凡解的一个最简单的公式，下面是几个这方面的例子。x=.;Solve@x^4-8x^3+24x^2-32x+15?0,xD88x?1,8x?2-?,8x?2+?,8x?3Solve@82x+3y?8,3x+2y?7,8x,yD88x?1,y2哈工程大学数学实验电子教案上页下页退出但是，Solve[]只能求出方程或方程组的理论解，下面的两例子中，第一个例子是能够求出理论解的，但若Mathematica都显示出来，可能要占据整个屏幕，此时我们只有利用//N或N[]命令从理论解计算它的数值解；对于第二个例子，根本没有理论解，因此Solve[]命令也求不出来的理论解，只能用下节的FindRoot[]命令求它的数值解。x