3.4 平面简谐波 波的能量和强度

3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动一波长、频率和波速波长：沿波的传播方向两相邻同位相点之间的距离周期T：波前进一个波长的距离所需的时间。频率=1/T,角频率ω=2π波数：角波数：1k2πk3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动波速：振动状态（或位相）在空间的传播速度。uTk3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动1）绳索中的波速F为张力，为线密度。绳波的传播Fu3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动2）固体纵波波速Y为杨氏弹性模量。为体密度。l0l0+lFF长变Yu0FYS3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动G为切变弹性模量。∵固体中GY切变F切F切ｕ横波ｕ纵波地震时纵波先到达震中*S3）固体中的横波波速GuFxtgSh切FGS切3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动pp4）气体和液体中的波速K体积弹性模量，为密度。pp体变V液体和气体内只能传播纵波，不能传播横波。KuVpKVVV¢®3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动=Cp/Cv,摩尔质量可以证明声波在空气中的速度证：由于声振动的频率较高(20~20000Hz)，可以将空气的疏密过程看成绝热过程，把空气当作理想气体。pRTu=CpVgKuVVKpdd3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动结论：波速由弹性媒质性质决定，频率（或周期）则由波源的振动特性决定。得得dp01+dVpVVddppVVddpKVpVpuRTpRTu51.401.01310332/1.29Pums3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动二平面简谐波的波动式问题：P点的振动状态在时间上落后于O点：O点的振动方程：求y=y(x,t)yo=y(0,t)&u给定,(假设：媒质无吸收，所有质元振幅均为A)xtu+tAyocosyxuAAOPx3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动平面简谐波的波函数(,)cos()xyxtAtu+或：在t时刻x点的振动状态与O点在(t-x/u)时刻的振动状态相同uxyopx()()pOxytytucos()xAtu+3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动可得波动方程的几种不同形式：利用+++xtAxTtAuxtAyπ2cosπ2coscosνTπ2π2uT和3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动讨论(1)当x给定时：若x=x1,波动式成为x1处质元的振动式.初相：结论：随着x值的增大，即在传播方向上，各质点的位相依次落后。这是波动的一个基本特征。3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动（2）当t给定时：若t=t1,波动式表示t1处的波形.)(])(cos[),(11xfuxtAtxy+xy1tttt+12结论：t1时刻，x处质点的振动状态经t时间传到了x+ut处,表达式反映了波是振动状态的传播.uut3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动位相差:同一质元在先后时刻的位相差:tTt2不同质元在同一时刻的位相差:xkx2(3)表达式还反映了波的时间、空间双重周期性T时间周期性空间周期性3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动沿x轴负向传播的平面简谐波的波动式:3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动例频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求（1）B点的振动比A点落后的时间。（2）波在A,B两点振动时的相位差是多少？（3）设声波使介质中的质点作简谐运动，振幅为1mm，求质点振动的最大速度是否与波的传播速度相等？解（1）波的周期11s3000T波长31.56100.52m52cm3000uB点比A点落后的时间30.131s1.561012000xtu即14T3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动（2）A,B两点的相位差π2π2tTB点比A点的振动相位落后π2（3）质点振动速度的最大值311030002π18.8m/smvA3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动例一平面简谐波以400m/s的波速在均匀介质中沿一直线从A点向B点方向传播。已知直线上质点A的振动周期为0.01s，振幅A=0.01m。设以质点A的振动经过平衡位置向正方向运动时作为计时起点，求（1）以距A点2m处的B点为坐标原点写出波动式；（2）B点和距A点1m的C点间的振动相位差。解（1）由000,0AAyyvt可得0π2AA点的振动表达式为02ππcos()0.01cos(200π)m2+AAyAttT3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动0cos()2π0.01cos(200π200π)400230.01cos(200ππ)m2+BAyAtttt式中为B点振动的初相3π2B3cos()0.01cos200π()πm4002xxyAttu+（2）13200πππ4002C3ππ(π)22BC3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动随着波的传播，能量也在传播波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动波的能量=振动动能+形变势能三波的能量波的强度3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动一波的能量1.线元Δx的动能弦上x处质元Δm=lΔx的动能：以横波为例，设21()2klyExtoxABxDuDy)cos(kxwtAy3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动线元Δx的形变势能近似等于在形变过程中（弦静止）张力F做的功：2.线元Δx的形变势能oxAB线元的长度从静止时的Δx变为：FF11222221yxyxx++1221pyEFxxx+212yFxx11222221yxyxx++3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动3.线元Δx的机械能21()2klyExt212pyEFxx2221sin2klExAtkx22llFuFkk2221sin2kplEExAtkx2221sin2pEFxkAtkx3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动4.波的能量密度22011d2TtATSlpkESx+kxtA222sin22211sin22pkAtkx222sinlExAtkx3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动oyTtx=x02A221.时间变化：固定x：εk、εp均随t周期性变化2.空间变化：固定t：εk、εp均随x周期分布oyxt=t0u2A222221sin2pkAtkx讨论3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动3.εk、εp均随t周期性变化，两者同步变化。原因：同步的原因速度大时形变亦大abxy3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动1.能量的传播ox(1/2)2A2εε的圆频率为2，传播速度也是波速u.二波的强度222211cos222xAAtu222sineAtkx3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动S面的能流：能流密度：2.能流密度PJuSJuPuSuSux3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动波的强度：能流密度的时间平均值平面简谐波：3.波的强度I2，IA22SI:WmuSuxJITtJT0d1utTuT0d3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动例：对无吸收媒质：利用平面波球面波柱面波和能量守恒r——场点到波源的距离可以证明：2212IA1const.ArAr，1const.ArAr，const.A3.4平面简谐波波的能量和强度第8章机械振动点波源各向同性介质例：点波源，各向同性媒质中的波速为u，媒质无吸收，求球面简谐波的波函数y(r,t)解：能量守恒221112IAu222212IAu2211224π4πIrIr222211224π4πArAr1221ArAro2A2r2S1A1r1S