第14周 二次函数综合问题(初高中衔接)

1第14周二次函数综合问题(初高中衔接)1.(2016福州,27)已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过点A,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h1时,求a的取值范围.2.已知:直线y=x+3与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)与x轴交于C,D两点.(1)如图,当抛物线经过点B,且抛物线的顶点M为(1,4)时,①求抛物线相应的函数表达式;②求点C到直线y=x+3的距离;(2)无论a为何值,抛物线y=ax2+bx+c的顶点M总在直线y=x+3上,经过点M作x轴的平行线与经过点B的另一条直线y=13x+n交于点E,经过点E作x轴的垂线和这条抛物线交于点F,和直线y=x+3交于点G,试探究EF和EG的数量关系.23.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线相应的函数表达式;(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过点M作MN∥y轴交抛物线于点N.若点M的横坐标为t,是否存在t,使得线段MN的长最大?若存在,求出MN的值;若不存在,请说明理由;(3)若对一切x≥0均有ax2+bx+c≤mx-m+13恒成立,求实数m的取值范围.备用图4.(2017四川资阳,24)如图,抛物线y=a(x+1)2+4(a≠0)与x轴交于A,C两点,与直线y=x-1交于A,B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)若点P在直线AB上方的抛物线上运动.①点P在什么位置时,△ABP的面积最大?求出此时点P的坐标.②当点P与点C重合时,连接PE,将△PEB补成矩形,使△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,求出矩形未知顶点的坐标.314周二次函数综合问题(初高中衔接)1.(2016福州,27)已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过点A,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h1时,求a的取值范围.(1)∵抛物线的顶点为A(1,2),∴设抛物线为y=a(x-1)2+2.∵抛物线经过原点,∴0=a(0-1)2+2,∴a=-2,∴抛物线的解析式为y=-2x2+4x.(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点,∴抛物线为y=ax2+bx,∵h=-𝑏2𝑎,∴b=-2ah,∴y=ax2-2ahx.又∵该抛物线顶点为A(h,k),∴k=ah2-2ah2=-ah2.∵抛物线y=tx2也经过A(h,k),∴k=th2,∴th2=-ah2,∴t=-a.(3)∵点A在抛物线y=x2-x上,∴k=h2-h.又k=-ah2且k≠0,∴h=11+𝑎(a≠-1).∵-2≤h1,∴-2≤11+𝑎1.①当1+a0时,即a-1时,{11+𝑎1,11+𝑎≥−2,解得a0;②当1+a0时,即a-1时,{11+𝑎1,11+𝑎≥−2,解得a≤-32.综上所述,a的取值范围为a0或a≤-32.3.已知:直线y=x+3与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)与x轴交于C,D两点.(1)如图,当抛物线经过点B,且抛物线的顶点M为(1,4)时,①求抛物线相应的函数表达式;②求点C到直线y=x+3的距离;(2)无论a为何值,抛物线y=ax2+bx+c的顶点M总在直线y=x+3上,经过点M作x轴的平行线与经过点B的另一条直线y=13x+n交于点E,经过点E作x轴的垂线和这条抛物线交于点F,和直线y=x+3交于点G,试探究EF和EG的数量关系.(1)①令y=x+3中x=0,得y=3,∴点B(0,3).设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+4,将B点坐标代入得a=-1,因此抛物线的函数表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.②过点C作CH⊥AB于点H.由y=x+3可求得A(-3,0).在y=-x2+2x+3中,令y=0,由-x2+2x+3=0,可得C(-1,0),则AC=2.又BO=3,AO=3,∴由勾股定理可得AB=3√2.由三角形面积公式得12AC·BO=12AB·CH,则CH=√2.即点C到直线y=x+3的距离为√2.(2)抛物线y=ax2+bx+c的顶点M(-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎)总在直线y=x+3上,有4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=-𝑏2𝑎+3,化简得a(4c-12)=b(b-2).∵不论a为何值该式总成立,∴4c-12=0,b(b-2)=0.又a,b,c均不为0,∴b=2,c=3,∴M(-1𝑎,-1𝑎+3).∵B(0,3)在直线y=13x+n上,∴n=3.联立{𝑦=13𝑥+3,𝑦=−13𝑎+3,易得E(-3𝑎,-1𝑎+3).联立{𝑦=𝑥+3,𝑥=−3𝑎,易得G(-3𝑎,-3𝑎+3),联立{𝑦=𝑎𝑥2+2𝑥+3,𝑥=−3𝑎,易得F(-3𝑎,3𝑎+3),∴EG=-2𝑎,EF=-4𝑎,∴EF=2EG.43解：.(1)∵C(0,3),∴c=3,∴y=ax2+bx+3.将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得{𝑎-𝑏+3=0,9𝑎+3𝑏+3=0,解得{𝑎=−1,𝑏=2,∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.(2)存在.由题意,易得直线BC的解析式为y=-x+3,∵点M的横坐标为t,∴yM=-t+3.又MN∥y轴,∴N(t,-t2+2t+3),∴MN=-t2+3t=-(t-32)2+94,∴当t=32时,MN有最大值,且最大值为94.(3)令y1=-x2+2x+3,y2=mx-m+13,当x=1时,y2=13,∴直线y2=mx-m+13恒过点(1,13).当y1=y2时,有-x2+2x+3=mx-m+13,即-x2+(2-m)x+m-10=0.当Δ=m2-36=0时,解得m=-6或m=6.当直线y2=mx-m+13过点C(0,3)时,m=10.由y1,y2的图象可知,当-6≤m≤10时,均有y1≤𝑦2,∴m的取值范围为-6≤m≤10.4解：(1)∵y=x-1与x轴交于点A,令y=0,则x-1=0,x=1,∴A(1,0).∵y=a(x+1)2+4过点A(1,0),∴0=a(1+1)2+4,∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.(2)联立{𝑦=𝑥-1,𝑦=−𝑥2-2𝑥+3,解得{𝑥1=1,𝑦1=0,{𝑥2=−4,𝑦2=−5,∴B(-4,-5).①设P(m,-m2-2m+3).如图(1),过点P作PG∥y轴交AB于点G,则点G的坐标是(m,m-1).∴PG=-m2-2m+3-(m-1)=-m2-3m+4,∴𝑆△𝑃𝐴𝐵=𝑆△𝑃𝐵𝐺+𝑆△𝑃𝐴𝐺=12×5(-m2-3m+4)=-52(m+32)2+1258.∵-520,∴当m=-32时,△ABP的面积最大.当m=-32时,-m2-2m+3=-94+2×32+3=154,∴此时点P的坐标为(-32,154).②令-x2-2x+3=0,得x1=-3,x2=1,∴P(-3,0).易得E(-1,-2),B(-4,-5),∴PE=2√2,BE=3√2,PB=√26,∴PE2+BE2=PB2,∴∠PEB=90°.(ⅰ)以BP为对角线,点E为矩形的顶点时,如图(2)所示,易求得直线PD的解析式为y=x+3,直线BD的解析式为y=-x-9.由{𝑦=𝑥+3,𝑦=−𝑥-9,得{𝑥=−6,𝑦=−3,此时D(-6,-3).(ⅱ)以BP为边,点E在BP对边FM上时,如图(3)所示,过点B作y轴的平行线交x轴于点N,过点M作MT⊥BN于点T.∵𝑆矩形𝑃𝐵𝑀𝐹=2𝑆△𝑃𝐵𝐸,∴BP·BM=PE·BE,∴BM=6√2613.易得△BTM∽△PNB,∴𝐵𝑇𝑃𝑁=𝑀𝑇𝐵𝑁=𝐵𝑀𝐵𝑃,∴BT=613,MT=3013,∴M(-2213,-7113).过点F作FK⊥x轴于点K,易得△FKP∽△PNB,∴𝐹𝐾𝑃𝑁=𝑃𝐾𝐵𝑁=𝐹𝑃𝑃𝐵,∴FK=613,PK=3013,∴F(-913,-613).综上所述,矩形未知顶点的坐标为(-6,-3)或(-2213,-7113),(-913,-613).