(matlab语言)研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况

天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第1页（共11页）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况（天津工程师范学院理学院物理0701班，天津300222）摘要通过求解微分方程的方法分析了带电粒子在均匀电磁场中的运动规律。带电粒子在纯电场、纯磁场中运动时，其运动轨道分别是抛物线和螺旋线；当电磁场并存时，根据相对论基本原理，带电粒子在均匀电磁场中运动时，其运动轨迹与电磁场的大小、方向有关，其运动可以看成是3个运动：z轴上的匀速加速直线运动、xy平面上的匀速圆周运动和一个沿x轴的匀速直线运动的合运动。而在某些特殊条件下，带电粒子可能只参与3个运动中的1～2个运动，需要进行详细的讨论。并且运用了matlab软件进行图形绘制，将几种情况通过静态和动态图形进行立体性的展示，对于该课题的研究可充分理解、掌握。该课题研究旨在巩固解决物理问题中所涉及到的数学物理方法以及学习matlab软件的使用方法、语言编辑及显示图形的方法。关键词带电粒子；均匀电场；均匀磁场；电磁场；运动轨迹一、引言：1、课题简介：带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况是一个重要的研究课题，对于物理学和科学技术的许多领域都有重大意义。就应用而言，质谱仪、示波器、电子显微镜、电视显像管、磁控管、粒子加速器等都与它有着密切的联系。所以，带电粒子在电磁场中的运动的分析研究是一个非常重要且前景非常大、非常好的课题。2、研究课题：研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动：设带电粒子的质量为m，带电量为q，电磁场的电场强度为E，磁感应强度为B，分下列三种情况进行考虑：（1）电场强度和磁感应强度都不为零时；（2）电场强度为零，磁感应强度不为零时；（3）电场强度不为零，磁感应强度为零时。要求：天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第2页（共11页）（1）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况，画出粒子运动轨迹；（2）学习用指令axes在图形窗口的不同位置设定坐标轴来画多个图形。3、课题观点：对于带电粒子在电磁场中的运动规律，一般教材都只对一些特殊情况进行了讨论。例如在均匀电场中，带电粒子作匀加速直线运动或类抛体运动；在均匀磁场中，带电粒子作匀速直线运动、匀速圆周运动或等螺距的螺旋线运动【1，2】．而对于空间既有电场又有磁场的情况，一些文献中也仅限于讨论粒子在互相垂直的电场和磁场中的运动【3】。本文通过运用求解微分方程的方法研究分析了带电粒子在均匀电磁场中的运动规律。二、用微分方程求解带电粒子在电磁场中的运动方程：1、带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程：如图1所示，在三维直角坐标系Oxyz中，磁感应强度B=Bzk，电场强度为E=Eyj+Ezk。当t=0时，一质量为m，电量为q的带电粒子从坐标原点O经过，速度为v0=vx0i+vy0j+vz0k。在不考虑重力作用情况下，带电粒子在任意时刻t所受到的合外力为F=qE+qv×B=qEyj+qEzk+q(vxi+vyj+vzk)×Bzk=qvyBzi+q(Ey-vxBz)j+qEzk根据牛顿第二运动定律，粒子的运动微分方程为mBqvdtxdzy22（1）mBvEqdtydzxy)(22（2）mqEdtzdz22（3）初始条件为：x|t=0=0，y|t=0=0，z|t=0=0vx|t=0=vx0，vy|t=0=vy0，vz|t=0=vz02、求解微分方程：天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第3页（共11页）根据式（1）得dtdvqBmdtxdqBmvxzzy22（4）将式（4）两边对时间求一阶倒数得22dtvdqBmdtdvxzy（5）将式（5）代入式（2）得022222mEBqvmqBdtvdyzxzx0222zyxzzyxBEvmqBBEvdtd令zyxBEvf，其特征方程为：022mqBz，mqBaz求得ai从而可知aBaAfsincos所以我们可将结果变为aBaABEvzyxsincos的形式【6】这是一个二阶常系数线性微分方程【3】，我们根据特征根法，可以解得tmqBctmqBcBEvzzzyxcossin21（6）积分可求得tmqBqBmctmqBqBmcctBExzzzzxzysincos210（7）将式（6）代入式（1）得tmqBctmqBcvzzysincos21（8）天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第4页（共11页）tmqBqBmctmqBqBmccyzzzzycossin210（9）将初始条件x|t=0=0，y|t=0=0，vx|t=0=vx0，vy|t=0=vy0代入式（6）～（9）得zyxqBmvc00，zyxzyBEvqBmc00，01yvc，zyxBEvc02tmqBBEvqBmtmqBqBmvqBmvtBExzzyxzzzyzyzysincos000（10）zyxzzzyxzzzyBEvqBmtmqBBEvqBmtmqBqBmvy000cossin（11）根据式（3）和初始条件z|t=0=0，vz|t=0=vz0可得2z0mqE21ttvzz（12）式（10）、（11）和（12）即为带电粒子在均匀电磁场中的运动方程。三、分析带电粒子在均匀磁场中的运动方程：1、当带电粒子处于磁感应强度为B=Bzk的磁场中时，其速度为v0=vx0i+vy0j+vz0k。其所受洛仑兹力为F=qv×B=-qvxBzk+qvyBzjmBqvdtxdzy2222dtvdqBmdtdvxzymBqvdtydzx22022dtzd初始条件为：x|t=0=0，y|t=0=0，z|t=0=0vx|t=0=vx0，vy|t=0=vy0，vz|t=0=vz02、求解微分方程：天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第5页（共11页）022mBqvdtvdqBmzxxz0222xzxvmqBdtvd由特征根法：tmqBctmqBcvzzxcossin21积分得：tmqBqBmctmqBqBmccxzzzzxsincos210tmqBmqBctmqBmqBcvzzzzxsincos21tmqBctmqBcvqBmvzzxzysincos21tmqBqBmctmqBqBmccyzzzzycossin210将初始条件代入上述方程中，可得：zyzzxzzyqBmvtmqBqBmvtmqBqBmvx000sincostmqBqBmvtmqBqBmvqBmvyzzxzzyzxcossin000tvzz0四、分析带电粒子在均匀电场中的运动方程：1、当带电粒子处于电场强度为E=Eyj+Ezk的均匀电场中时，其所受的库伦力为F=qEyj+qEzk022dtxdmqEdtydy22mqEdtzdz22初始条件为：x|t=0=0，y|t=0=0，z|t=0=0vx|t=0=vx0，vy|t=0=vy0，vz|t=0=vz0天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第6页（共11页）2、求解微分方程可得：tvxx02y02mqEttvyy2z02mqEttvzz五、问题讨论：根据以上分析得到的结果，在一般情况下，带电粒子在均匀电磁场中的运动可以看成是3个运动的合运动。其中在z轴上是一个匀加速直线运动；在xy平面上是一个匀速圆周运动和一个沿z轴的匀速直线运动。图2中螺旋曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。在一些特殊条件下，带电粒子可能只参与以上3个运动中的1～2个运动，下面将分几种不同的情况进行讨论：（1）如果空间电场和磁场的方向互相平行(Ey=0)，且带电粒子的xy平面上的分速度不为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，即在z轴方向的匀加速直线运动和在xy平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图3所示。(2)如果空间电场和磁场的方向互相平行(Ey=0)，且带电粒子在xy平面上的分速度为零，则粒子只有一个运动，即沿z轴方向的匀加速直线运动。天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第7页（共11页）(3)如果空间电场和磁场的方向互相垂直(Ez=0)，带电粒子在z轴上的分速度不为零，则粒子的运动仍然是3个运动的合成。其中在z轴上的运动为一匀速直线运动；而在xy平面上还是一个匀速圆周运动和一个沿z轴的匀速直线运动。其运动轨迹如图4所示。(4)如果空间电场和磁场的方向互相垂直(Ez=0)，且带电粒子在轴上的分速度为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，即在x轴方向的匀速直线运动和在xy平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图5所示。(5)如果空间电场和磁场的方向互相垂直(Ez=O)，带电粒子在Y轴和z轴上的分速度为零，且在x轴上的分速度为iBEvzyx，则粒子只有一个运动，即沿x轴方向的匀速直线运动。六、结论：通过本次课程设计，对带电粒子在均匀电磁场中运动分析这一课题的研究过程中，我们发现这种运动分析并不像是我们曾经想象中或者学习过的解题方法那么简单。在高等物理中，我们有时候需要考虑到相对论与非相对论的情况。在研究过程中，我们发现在matlab软件的使用上需要更加深入的学习，有一些语句仍然无法运用自如，对于指令axes图形句柄运用还不够娴熟。在解题过程中，我们充分利用之前数学物理方法课程中所学习的本征方程求解的方法进行求解，将之前所学过的一些例如初始条件、本征根、微分方程等解法运用到此次课题研究当中，充分将之前所学过的理论知识运用到实践中。最终我们将课题所要研究的结果用matlab软件进行实现，如图6。图中的上图为均匀电场和均匀磁场共同作用的时候带电粒子的运动轨迹；下左图为仅有均匀磁场作用时带电粒子的运动轨迹；下右图为仅有均匀电场作用时带电粒子的运动轨迹。此次运用axes指令制图的学习过程中，我们对于matlab软件中的很多功能也进行了系统的学天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第8页（共11页）习，从中受益匪浅。并且我们还很好的巩固了曾经学习的一些物理学中需要运用到的数学解题方法及思路，扎实了理论基础，同时也为我们今后的学习起到了很好的铺垫作用。七、参考文献：【1】马文蔚，《物理学（中册）》。北京：高等教育出版社，1993；【2】吴锡珑，《大学物理教程（第三册）》。北京：高等教育出版社，1999；【3】胡建新，《大学物理——带电粒子在正交恒定电磁场中运动状态的分析》。2004；【4】刘卫国，《MATLAB程序设计教程》。北京：中国水利水电出版社，2005；【5】梁灿斌，秦光戎，梁竹健，《电磁场》。天津工程师范学院计算物理课程设计研究报告（2009年12月）研究带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动情况第9页（共11页）北京：高等教育出版社，2008；【6】吴崇试，《数学物理方法》。北京：北京大学出版社，2007。附录（具体程序）：用axes在同一坐标画多个图形：【4】%电场强度和磁场强度都不为0.m=1;Bz=1;q=1;Ey=1;Ez=1;vx=1;vy=1;vz=1;a=q*Bz/m;t=1:0.01:100;x=Ey/Bz*t+vy/a-vy/a*cos(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*sin(a*t);y=vy/a*sin(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*cos(a*t)-(vx-Ey/Bz)/a;z=vz*t+a*t.^2/2;ax