绝对值不等式的解法

课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练第2课时绝对值不等式的解法【课标要求】1．理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围．2．会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式．【核心扫描】1．以选择题的形式考查绝对值不等式的解法，同时常与集合相结合，在集合的交、并、补运算中考查解法．(重点)2．考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价转化的数学思想．(难点)课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练1．|x|＞a和|x|＜a(a＞0)型不等式的解法|x|＜a⇔；|x|＞a⇔.2．|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.自学导引－a＜x＜ax＜－a或x＞a课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练3．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的三种解法①利用绝对值不等式的几何意义，体现了数形结合思想，是解绝对值不等式最简单的方法，但要注意理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键；②利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之，体现了分类讨论思想，从中可以发现，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值符号内多项式取值的正负性，进而去掉绝对值符号；课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练③通过构成函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想，从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的单调性)是解题的关键．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练试一试：解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c.提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．(2)当c0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练想一想：解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤．提示①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；②把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练1．不等式|x＋1|＞3的解集是()．A．{x|x＜－4或x＞2}B．{x|－4＜x＜2}C．{x|x＜－4或x≥2}D．{x|－4≤x＜2}解析|x＋1|＞3，则x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.答案A基础自测课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练2．集合{x|0＜|x－3|＜3，x∈Z}的真子集个数为()．A．16B．15C．8D．7答案B课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练3．使3－|x||2x＋1|－4有意义的x所满足的条件是()．A．－3≤x＜32B．－52＜x≤3C．－3≤x＜－52或32＜x≤3D．－3≤x≤3答案C课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练4．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为________．答案x|－72≤x＜－52或－12＜x≤12课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练题型一简单的绝对值不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)1x2－2≤1|x|.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练[思维启迪]解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练解(1)法一原不等式等价于不等式组|x－2|＞1，|x－2|≤3，即x＜1或x＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练法二原不等式可转化为：①x－2≥01＜x－2≤3或②x－2＜0，1＜－x－2≤3，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法三原不等式的解集就是1＜(x－2)2≤9的解集，即x－22≤9，x－22＞1，解得－1≤x≤5，x＜1或x＞3，∴－1≤x＜1或3＜x≤5.∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，整理得x＞2或x＜－4.∴原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－2＜x＜2，且x≠0时，原不等式显然成立．②当x2－2＞0时，原不等式与不等式组|x|＞2x2－2≥|x|等价，课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练x2－2≥|x|即|x|2－|x|－2≥0，∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2，即x≤－2或x≥2.∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练规律方法解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝对值符号，把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式．这也是解绝对值不等式的基本思想．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练【变式1】解不等式|x2－2x＋3|＜|3x－1|.解x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，|x2－2x＋3|＜|3x－1|⇔x2－2x＋3＜|3x－1|⇔3x－1＞x2－2x＋3或3x－1＜－x2＋2x－3⇔x2－5x＋4＜0，得1＜x＜4，由x2＋x＋2＜0，得x＋122＋74＜0，该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1,4)．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练题型二含多个绝对值的不等式的解法【例2】(1)解不等式|x＋3|＋|x－3|＞8；(2)解不等式f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＞2.[思维启迪]对于含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，可以进行分类讨论；也可以借助数轴利用绝对值的几何意义；还可以画出左、右两边相应函数的图象，利用图象法直观求解．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练解(1)法一由代数式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x＜－3，－3≤x＜3，x≥3.当x＜－3时，－x－3－x＋3＞8，即x＜－4，此时不等式的解集为{x|x＜－4}．①当－3≤x＜3时，x＋3－x＋3＞8，此时不等式无解②当x≥3时，x＋3＋x－3＞8，即x＞4，此时不等式的解集为{x|x＞4}③取①②③式的并集得原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞4}．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练法二分别画出函数y1＝|x＋3|＋|x－3|和y2＝8的图象，如图所示．y1＝－2xx＜－36－3≤x＜32xx≥3，不难看出，要使y1＞y2，只需x＜－4或x＞4.∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞4}．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练(2)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5x≤－123x－3－12＜x＜4x＋5x≥4，作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和53，2.所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪53，＋∞.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练规律方法对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点)．令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练【变式2】解不等式|x＋1|－|2x－3|＋2＞0.解令x＋1＝0，∴x＝－1，令2x－3＝0，∴x＝32，(1)当x≤－1时，原不等式化为－(x＋1)＞－(2x－3)－2，∴x＞2与条件x≤－1矛盾，无解；(2)当－1＜x≤32时，原不等式化为x＋1＞－(2x－3)－2，∴x＞0，故0＜x≤32；课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练(3)当x＞32时，原不等式化为x＋1＞2x－3－2，∴x＜6，故32＜x＜6.综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜6}．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练题型三含绝对值不等式的恒成立问题【例3】已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围．[思维启迪]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练解法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练规律方法问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对值不等式或矛盾不等式，都属于恒成立问题，问题(2)、(3)则属于恒成立问题．要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练【变式3】把本例中的“＞”改成“＜”．即|x＋2|－|x＋3|＜m时，分别求出m的范围．解－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1(1)若不等式有解，则m＞－1；(2)若不等式解集为R，即m＞1；(3)若不等式解集为∅，则m≤－1.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练方法技巧含参数的绝对值不等式的解法【示例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练[思路分析](1)讨论x≤－1，－1＜x≤1和x＞1三种情况→分别求得不等式的解集→再合并求得不等式fx≥3的解集(2)讨论a＝1，a＜1和a＞1三种情况→分别求得fx的最小值→再解fxmin≥2→求得a的取值范围.课前探究学习课堂讲练互动知能达标演练解(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.不等式组x≤－1fx≥3，的解集为－∞，－32.②当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，此不等式不成立．故不等式组－1＜x≤1fx≥3，的解集为∅.课前探究学习课堂