北师大版初中数学8年级下几何部分复习研究

北师大版初中数学教学研究第1页共24页1北师大版初中数学8年级下几何部分复习研究一、前面所学的所有公理、定理（一）线与角部分公理1：过两点，有且只有一条直线。公理2：两点之间，线段最短。平行线1．平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线．2、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．3．平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．4．常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．余角、补角、对顶角1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3=90○，则∠2=∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A+∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B=∠C．HGABCDEF北师大版初中数学教学研究第2页共24页26．对顶角的性质：对顶角相等．角的平分线1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；2、角平分线性质逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；3、三角形的三条角平分线相交于一点（内心）线段垂直平分线1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；2、垂直平分线性质逆定理：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；3、三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）（二）三角形部分三角形1、三角形的定义：平面内，三条线段首尾顺次相接而成的封闭图形。2、三角形中的主要线段．①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角的角平分线．②三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．④一个三角形有三条角平分线，三条中线、三条高线、三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，三条高或其延长线相交于一点3、三角形三边关系公式：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。4、三角形三内角关系定理：三角形的内角和等于180°5、三角形内外角关系定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形全等1、三角形全等的定义：两个能完全重合的三角形叫三角形BACMPEDCABP北师大版初中数学教学研究第3页共24页32、三角形全等的判定定理：①若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等（SAS）②若两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等（ASA）③若两个三角形的两角及其中一角的对边分别相等，则这两个三角形全等（AAS）④若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等（SSS）⑤有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（HL）．3、三角形全等的性质定理：全等三角形的对应边相等，对应角相等．三角形相似之比例基本性质及运用1．线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成am=bn，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项b叫做比的后项．注意：（1）针对两条线段，（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数．2．线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果ac=bd或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即争abbc或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．3．比例的性质4．黄金分割：在线段AB上有一点C，若AC：AB=BC：AC，则C点就是AB的黄金分割点．618.0215ACBCABACABC北师大版初中数学教学研究第4页共24页4相似三角形1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．2．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似多边形的性质：①相似多边形的周长的比等于相似比；②相似多边形的对应对角线的比等于相似比；③相似多边形的面积的比等于相似比的平方。5．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．等腰三角形1、等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形2、等腰三角形性质定理：等腰三角形两底角相等。3、等腰三角形判定定理：两底角相等的三角形是等腰三角形4、等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边的中线、高线和顶角的角平分线“三线合一”。直角三角形1、直角三角形定义：2、直角三角形中的四个常用定理（都可用全等证明，不必等到圆的部分才学）：①30°所对的直角边是斜边的一半。②斜边上的中线等于斜边的一半。DABC北师大版初中数学教学研究第5页共24页5③在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角是30°④3、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用a、b为表示两条直角边，c表示斜边，则222abc，其中222222,,bcaacbbac4、勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多．5、勾股定理逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形。6、射影定理：CDADBDACABADBCBABD222···轴对称1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．4．简单的轴对称图形：①线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线．②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线．③等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线．④等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线．（三）四边形部分多边形1、多边形内角和定理：多边形内角和等于0180)2n(2、外角和定理：多边形内角和等于36003、过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有(3)2nn条对角线．4、过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形．CABD北师大版初中数学教学研究第6页共24页6平行四边形1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．3．平行四边形的性质：文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．符号语言表达：四边形ABCD是平行四边形4．平行四边形的判定：文字表达：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言表达：AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB四边形ABCD是平行四边形．菱形、矩形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．ODCBA北师大版初中数学教学研究第7页共24页73．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．梯形1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。中心对称图形1．定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．2．性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．3．中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180o的旋转对称．4．中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M平分，则这两个点关于点M成中心对称．北师大版初中数学教学研究第8页共24页8HFECBADG二、从证明一、二、三中挖掘辅助线的教学。常见辅助线用语：1、连结XX延长XX至X，使XX=XX延长XX与XX，交于点X2、过点X作XX∥XX3、过点X作XX⊥XX于X三、专题讲解：专题一：线与角■线段与直线1、如图所示，某公司原计划修建一条从ABCD的公路，请你为他们设计一条从A到D的最近路线，并在图中作