概率论与数理统计--数学期望E(X)分析解析

第四章随机变量的数字特征数学期望方差*协方差与相关系数大数定律与中心极限定理数学期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为90852802756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均数学期望E(X)1122()kkkkkEXpxpxpxpx()1,2,kkPXxpkMathematicalExpectation定义设离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量kkkpx若级数绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望，记作E（X），即XP41/451/261/4数学期望的计算已知随机变量X的分布律：112233)(EXpxpxpx例求数学期望E（X）解111()4565424EX连续型随机变量的数学期望E(X)()()EXxfxdx连续型随机变量定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则()若广义积分绝对收敛,则称此积分为的数学期望xfxdxX即数学期望的计算已知随机变量X的密度函数为例211()101xfxxx()()EXxfxdx求数学期望。解1121110010xdxxdxxdxx数学期望的意义试验次数较大时，X的观测值的算术平均值在E(X)附近摆动x()xEX数学期望又可以称为期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(,)((),())EXYEXEY.(){}iiiiiijiiijEXxPXxxpxp.(){}jjjjjijjjjiEYyPYyypyp()()(,),XEXxfxdxxfxydxdy()()(,).YEYyfydyyfxydxdy(X,Y)为二维连续型随机变量设(X,Y)的联合密度为例[0,1],[1,3](,)0kxyxyfxy其它(1)求k(2)求X和Y的边缘密度(3)求E(X),E(Y).14212kk12k()(,)Xfxfxydy31122xydyx2[0,1]()0Xxxfx其它(,)1fxydxdy(1)由解3110kydyxdx所以所以得113[0,1]x时(2)()(,)Yfyfxydx101124xydxy[1,3]()40其它yyyfy()()XEXxfxdx（３）()()YEYyfydy10223xxdx311346yydy[1,3]y时113113()(,)EXxfxydxdy（３）另解10223xxdx311346yydy130112dxxxydy()(,)EYyfxydxdy311012dyyxydx无需求边缘分布密度函数随机变量的函数的数学期望定理1：一维情形()YgX设是随机变量X的函数,1()[()]()kkkEYEgXgxp{},1,2,kkPXxpk离散型连续型()[()]()()EYEgXgxfxdx()fx概率密度为X服从2,0sinYX已知上的均匀分布，求的数学期望。()sinsinEYEXxfxdx1,0220,xfx；其它。201sinsin02EXxdx因为所以例解随机变量的函数的数学期望[(,)](,)ijijijEgXYgxyp定理2：二维情形12{,},,,,ijijPXxYypij[(,)](,)(,)EgXYgxyfxydxdy(,)fxy联合概率密度为(,)ZgXY设是随机变量X，Y的函数,连续型离散型15[)](,)EXYxyfxydxdy例设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为12,(01)()0,xxfx其它(5)2,(5)()0,yeyfy其它求E（XY）解12()()xyfxfydxdy1(5)052ydxxyxedy12(5)052yxdxyedy4数学期望的性质,XY相互独立时当随机变量()()()EXYEXEY()ECC.C为常数()()ECXCEX.()()()EXYEXEY.设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).3026面积答案：25();()3;2EXYEX243();()32EYEXY0-1分布的数学期望X服从0-1分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服从参数为p的0-1分布，则E(X)=p()0(1)1EXppp分布律数学期望IfX~B(n,p),thenE(X)=np{}(1)kknknPXkCpp二项分布的数学期望分布律X服从二项分布，其概率分布为数学期望n二项分布可表示为个０－１分布的和1niiXX0,1iAiXAi在第次试验中不发生，在第次试验中发生11()()()nniiiiEXEXEXnp其中则泊松分布的数学期望If,then~()XP()EX()!kPXkek分布律数学期望101()!(1)!kkkkEXkeekk(1)kt0!tteeet1()0axbfxba其它均匀分布的期望分布密度数学期望()2()baxxfxdxdxEXbbaaX~N(μ，σ2）正态分布的期望分布密度222)(21)(xexf数学期望22()2()12xxedxEX221()2ttedtxt0()00xexfxx指数分布的期望分布密度数学期望0(())xxfxdExxedxX0001||xxxxeedxe1数学期望在医学上的一个应用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X我们需要计算X的数学期望，然后与10比较化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律。(X=1)=“10人都是阴性”（X=11)=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求X期望值的步骤！1010{1}(10.1)0.9PX10{11}10.9PX1010()0.91(10.9)117.51310EX1、概率p对是否分组的影响问题的进一步讨论若p=0.2，则当p0.2057时，E(X)10()0.91(10.9)1110nnEX1010()0.81(10.8)119.9262EX2、概率p对每组人数n的影响21.86n当p=0.2时，可得出n10.32，才能保证EX10.当p=0.1时，为使例独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1+p2设产生故障的仪器数目为X则X的所有可能取值为0，1解12(0)(1-)(1-)PXpp1212(1)(1-)(1-)PXpppp12(2)PXpp121212()[(1-)(1-)]2EXpppppp12pp所以