第十一章 概率 章末大盘点

一、分类讨论的思想在求一些事件的概率时要用到分类讨论的思想，例如求至少有一个事件发生的概率，不同时发生的概率都用到了分类讨论的思想.【示例1】A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设两只小白鼠服用A有效的概率为服用B有效的概率为(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.[解](1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依题意有P(A1)＝P(B0)＝P(B1)＝2×所求的概率为P＝P(B0·A1)＋P(B0·A2)＋P(B1·A2)＝＝(2)所求概率为P＝1－[领悟]本题考查了相互独立事件的概率求法.此类题是高考中概率问题的常见题型.解此类题的关键是把有实际背景的问题转化为合适的数学问题.注意分类时按照一定的标准划分，并且做到不重不漏.二、转化与化归的思想在求一些事件的概率时，直接求解要考虑的情况太多，利用转化的思想求它的对立面，转化为易求解的问题.【示例2】在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率；(2)至少答对一道题的概率.[解]视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为由独立重复试验的概率计算公式得：(1)恰有两道题答对的概率为P4(2)＝(2)法一：至少有一道题答对的概率为1－P4(0)＝＝法二：至少有一道题答对的概率为[领悟]本题考查了独立重复事件的概率求法，此类题的关键点有①判断事件是否是独立重复事件，②分析清楚题意，并转化为数学问题.1.(2009·江西高考)甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为()解析：初赛中分组有三种：(1)甲乙，丙丁；(2)甲丙，乙丁；(3)甲丁，乙丙.∴甲乙初赛相遇的概率为甲乙不相遇的概率为若甲乙复赛相遇，则初赛必不相遇.同时初赛都战胜对手，概率为∴甲乙复赛相遇的概率为∴P＝答案：D2.(2008·福建高考)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()解析：由n次独立重复恰有k次发生的概率公式得：P3(k＝2)＝答案：C3.(2009·安徽高考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()解析：甲从正方体6个面的中心中取两个点有种方法，乙从这6个点中取两个点有种方法，故事件总数为＝15×15(种).如图四边形BCDE、CFEA、ABFD均为平行四边形.甲从BC与DE，BE与CD中选一个有种方法(若甲选BC，则乙只能选DE.而乙也可能选BC，此时甲选DE)共有3种选法.故P＝答案：D4.(2010·沈阳调研)发报中常采取重复发送信号的方法来减少在接收中可能发生的错误.假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0接收为1或1接收为0，它们发生的概率都是0.1，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为()A.0.028B.0.001C.0.009D.0.03解析：每一种信号连发3次，判错一个信号的情况有两种，3次接收时，都是0接收为1或1接收为0或3次中两次都是0接收为1或1接收为0，则所求概率为×0.13＋×0.12×0.9＝0.028.答案：A5.(2010·太原模拟)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量m与向量n垂直的概率是()解析：把一颗骰子投掷两次，共有6×6＝36种结果.其中m⊥n，即a－2b＝0有a＝2，b＝1；a＝4，b＝2；a＝6，b＝3共3种结果.∴概率P＝答案：B6.(2010·郑州质检)现有男生4人，女生4人，将他们任意排成一排，左边4人全是女生的概率是()解析：8人任意排有种方法，左边4人全是女生的排法有种，故概率P＝答案：A7.(2009·安徽高考)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是.解析：能构成三角形的可能情况：2,3,4或2,4,5或3,4,5，∴P＝答案：8.(2010·黄冈模拟)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是(以数值作答).解析：i表示摸出的5个球所标数字之和(i＝0,1,2,3,4,5)，则P(0)＝P(1)＝P(4)＝P(5)＝故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(0)＋P(1)＋P(4)＋P(5)＝答案：9.(2009·湖南高考)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×(2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P＝1－P＝1－P＝1－10.(2008·全国卷Ⅱ)甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.设甲、乙的射击相互独立.(1)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.解：记A1，A2分别表示甲击中9环，10环，B1，B2分别表示乙击中8环，9环，A表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数.C1，C2分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数.(1)A＝A1·B1＋A2·B1＋A2·B2，P(A)＝P(A1·B1＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B1)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝0.3×0.4＋0.1×0.4＋0.1×0.4＝0.2.(2)B＝C1＋C2，P(C1)＝[P(A)]2[1－P(A)]＝3×0.22×(1－0.2)＝0.096，P(C2)＝[P(A)]3＝0.23＝0.008，P(B)＝P(C1＋C2)＝P(C1)＋P(C2)＝0.096＋0.008＝0.104.