大学高数课件 6.6第六节 方向导数与梯度

第六节方向导数与梯度一、方向导数的定义二、梯度的概念一、方向导数的定义内有定义．的某一邻域在点设函数)(),(),(00PUyxPyxfz,,),(为方向向量的直线且以面上过点是为一单位向量设ePxOylbae),(baeloyxl),(00yxP.)(,,00tbtyyatxxl的参数方程为：则,),(上任一点为设lyxQ),(00btyatxQ),(00yyxxPQ,),(etbtat|,|||||tetPQt表示点P到点Q的有向距离．),(baeloyxl),(000yxP),(00btxatxQ,),(),(0000yxfbtyatxfz当Q沿着l趋于P时,tyxfbtyatxft),(),(lim00000是否存在？1、方向导数的定义即记为的方向导数沿方向在点为函数则称此极限存在若同向的单位向量是与是非零向量的某个邻域内有定义在点设,,),(,),(),(lim,),(,,),(),(),(000000000yxtllflPyxfztyxfbtyatxflbaelyxPyxfz.),(),(lim00000),(00tyxfbtyatxflftyx函数f(x,y)在点P沿着x轴正向、y轴正向的方向导数分别为：fx,fy.)0,1(i)1,0(j沿着x轴、y轴负向的方向导数分别是：fx,fy..,的推广是方向导数yxfflf说明:函数在一点可偏导,未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在.2、方向导数的计算定理若函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)可微,则对于任一单位向量),,(bael函数f(x,y)在点P(x0,y0)沿方向l的方向导数都存在,且有:.),(),(0000),(00byxfayxflfyxyx函数可微是方向导数存在的充分不必要条件.证明由于函数可微,则全增量可表示为：),(),(yxfyyxxfz),(),(),(0000oyyxfxyxfyx,,btyatx取tyxfbtyatxf),(),(0000则ttobyxfayxfyx|)(|),(),(00000limt0limt.),(),(0000),(00byxfayxflfyxyx即例1求函数yxez2在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.解),21,21(le则PQl方向),1,1(,2yxez,22yyxez,1)0,1(xz,2)0,1(yz)0,0(lz.212221所求方向导数3、推广可得三元函数方向导数的定义.,),,(,lim,),,(,,),,(),,(),,(),,(),,(0000000000000zyxtzyxftcztbytaxftllflPzyxfulcbaelzyxPzyxfu记为的方向导数沿方向在点函数则称此极限为存在若同向的单位向量是与非零向量是的某邻域有定义在点设若u=f(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)可微时,则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在.,),,(则有同向的单位向量非零向量若与cbaell.),,(),,(),,(000000000),,(000czyxfbzyxfazyxflfzyxzyx二、梯度的概念1、定义定点P处有无穷多个方向,函数f(x,y)在该点沿哪个方向的方向导数最大?最大值为多少?定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)可微,称向量jyxfiyxfyx),(),(0000为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的梯度(gradient),记为gradf(x0,y0)或f(x0,y0)..),(,),(),(000000yxfyxfyxfyxbfaflfyx),(),(baffyxleyxf),(,cos|),(|yxflf有最大值.设),(bael是方向l上的单位向量,).),((的夹角与为leyxf,1cos时当方向：f(x,y)变化率最大的方向模:f(x,y)的最大变化率之值),(yxfleyxflf),(2、方向导数与梯度的关系1)函数在某点沿梯度方向的方向导数最大且最大值为梯度的模:22|),(|yxffyxf2)z=f(x,y)在点(x,y)处沿f(x,y)方向的方向导数最小,为|f|；沿垂直于梯度f(x,y)方向的方向导数等于零.ll3)z=f(x,y)在点P0沿方向的方向导数等于梯度在方向上的投影.3、梯度的概念可以推广到三元函数若三元函数u=f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)可微,则.),,(),,,(),,,(),,(000000000000zyxfzyxfzyxfzyxfzyx类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.例2求函数yxzyxu2332222在点A)2,1,1(处的梯度,并问在哪些点处梯度为零？解),,(zyxu),6,24,32(zyx),12,2,5()2,1,1(u在点)0,21,23(0P处梯度为0..00应为例3求)ln(22zyxu在点A(1,0,1)处沿A指向B(3,2,2)方向的方向导数.解),31,32,32(le则ABl方向),1,2,2(),,(zyxuuuu),,,1(1222222zyzzyyzyx),21,0,21()1,0,1(uleulu)1,0,1()1,0,1(.21例4函数zxyu2在点)2,1,1(P处,沿什么方向的方向导数最大？最小？并求出方向导数的最大值和最小值.解),,(zyxu),,2,(22xyxyzzy),1,4,2()2,1,1(u,21|)2,1,1(|u沿方向)1,4,2(l的方向导数最大,其最大值为21;沿方向)1,4,2(l的方向导数最小,其最小值为21.4、梯度应用实例例5设某金属板上电压分布为V=502x24y2,(1)在点(1,2)处,沿哪个方向电压升高最快?(2)沿哪个方向电压下降最快?(3)上升或下降的最大数率是多少?(4)沿哪个方向电压变化得最慢??,),,(,2210000022方向可最快到达山顶问沿哪个处往上爬山若从点表示数设一座山峰高度可由函zyxPyxz例6?,),,(000到达山底问沿哪个方向可最快处下山若从点zyxP*5.梯度的基本运算公式,0grad(1)C(Page98ex7),grad)(grad(2)uCuC,gradgrad)(grad(3)vuvu,gradgrad)(grad(4)uvvuvu.grad)()(grad(5)uufuf三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数量值函数)场向量场(向量值函数)可微函数f(P)梯度场gradf(P)(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)(注意梯度是一个向量)四、小结.这点增长最快的方向梯度的方向就是函数在4.关系方向导数存在偏导数存在可微