解析几何难题――教师版,附解答

Page1of18解析几何【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．(1)求点M轨迹的方程.(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求与面积之比的取值范围(为坐标原点)．解(1)设点的坐标为，∵，∴．整理，得()，这就是动点M的轨迹方程．(2)方法一由题意知直线的斜率存在，设的方程为()①将①代入，得，由，解得．设，，则②令，则，即，即，且由②得，即．且且．解得且，且．∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．方法二由题意知直线的斜率存在，设的方程为①将①代入，整理，得，由，解得．,AB(0,1)(0,1),AMBM12C2,0DlCEFEDFODEODFOM(,)xy12AMBMkk1112yyxx2212xy0xll2ykx12k1222yx0)28(8)12(2222kxkxk02102k11,Exy22,Fxy.1228,12822212221kkxxkkxxOBEOBFSS||||BEBFBEBF1222xx01.12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21xxkxxxxxxk（22222412,2122.21xkxk22222141,(1)8(1)2kk即2102k214k24110(1)222411(1)24322322130112231311322,,133ll2xsy(2)s1222yx22(2)420sysy022sPage2of18设，，则②令，且.将代入②，得∴．即．∵且，∴且．即且．解得且．，且．故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．【例02】在△ABC中，A点的坐标为(3，0)，BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．(1)求△ABC外心的轨迹方程．(2)设直线l∶y=3x+b与(1)的轨迹交于E、F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值并求出此时b的值．解(1)设B点的坐标为(0，)，则C点坐标为(0，+2)(-3≤≤1)，则BC边的垂直平分线为y=+1①②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．(2)将代入得．由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：得∵∴又原点到直线l的距离为，∴∵，∴．∴当，即时，．11,Exy22,Fxy1221224,22.2syysyys11221212OBEOBFOBySySyOBy0112yy2222241,22.2sysys222182ss2222161s22s24s22212612221461261013322322130112231311322,,133dEF||0y0y0y0y)23(3200xyyy0y862xy130y2120yy)22(862yxybxy3862xy08)1(6922bxbx862xy22y234x34[]8)1(69)(22bxbxxf34[]．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222bbbfbbfbb34b7232984)]1(32[||2221bbbxx721032||1||212bxxkEF10||bd71)711(73202732072320||222bbbbbdEF34b41131b411b4b35||maxdEFPage3of18【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．(1)求椭圆的方程．(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解(I)由题意得所求的椭圆方程为，(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．(1)求与的值．(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．解(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得(Ⅱ)由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.1C22221(0)yxabab(1,0)A1C11CP2C2()yxhhR2CP1C,MNAPMNh212,,121babba2214yx21122(,),(,),(,),MxyNxyPtth2C2xtyt22ytxth1C2224(2)40xtxth22222414()()40txtthxth1C4221162(2)40thth3x21232()22(1)xxtthxt4x412tx34xx2(1)10tht22(1)40,1hh3h3h220,40hh4221162(2)40thth1h1h2(1)10tht1t1,1ht4221162(2)40ththhC22(0)xpyp(,4)Am174pmCP(0)ttPCQxMQPQCNMNCt2py)4,(mA41724p21pyx2)4,(mA2m),(2ttPPQkPage4of18则，当则.联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即：，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线，，整理得，解得(舍去)，或，【例05】已知双曲线的离心率为，右准线方程为．(1)求双曲线的方程．(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．(Ⅰ)由题意，得，解得，，所求双曲线的方程为.)(:2txktylPQ,,02kkttxy)0,(2kkttMyxtxkty22)(0)(2tktkxx0)]()[(tkxtx,txtkx))(,(2tktkQQPQNNQk1)]([1)(:2tkxktkylNQyxtkxktky22)]([1)(0)()(1122tktkkxkx0]1)()[(2tkktkxkx0)](][1)([tkxtkkkxktkkx1)(tkx)]1)([,1)((22ktkkktkkN)1()1(1)(]1)([2222222ktkktkkkttktkkktkkKNMktkkykktkkx2)(21)(切ktkkktkktk2)(2)1()1(222202122ttkk0)21(422tt32t32t32mint2222:1(0,0)xyCabab333xCl22:2Oxy0000(,)(0)PxyxylC,ABAOB2333acca1,3ac2222bcaC2212yxPage5of18(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，则，∵，且，.∴的大小为.【解法2】(Ⅰ)同解法1.(Ⅱ)点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.(∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零).0000,0Pxyxy222xy00,Pxy0000xyyxxy002xxyy2200122yxxxyy22002xy222000344820xxxxxl2002x20340x22200016434820xxx1122,,,xyxy20012122200482,3434xxxxxxxxcosOAOBAOBOAOB121212010220122OAOBxxyyxxxxxxy212012012201422xxxxxxxxx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxxAOB900000,0Pxyxy222xy00,Pxy0000xyyxxy002xxyy2200122yxxxyy22002xy222000344820xxxxx222000348820xyyxxl2002x20340x1122,,,xyxy2200121222008228,3434xxxxyyxx12120OAOBxxyyAOB9022002xy000xy220002,02xy20340xPage6of18【例06】椭圆E:(a、b0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，并且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.解:(1)因为椭圆E:(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为解方程组得，即，则△=，即，要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，22221xyab26OAOB22221xyab262222421611abab22118114ab2284ab22184xyOAOBykxm22184xyykxm222()8xkxm222(12)4280kxkmxm222222164(12)(28