解直角三角形的应用

解直角三角形的应用（一）---测高问题（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：2、解直角三角形的条件可分为两大类：①、已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一锐角、斜边）②、已知两边（一直角边，一斜边或者两条直角边）1、解直角三角形除直角外，至少要知道元素（这两个元素中至少有）两个一条边铅垂线水平线视线视线仰角俯角在进行观察或测量时，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；一、仰角与俯角的概念强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。45°30°OBA200米合作与探究例1：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.LUDP合作与探究例1：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C法一：延长AM交PO于C，则AC⊥POM合作与探究45°30°POBA200米C例1：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.法一：过点A作AC⊥水平线PC于C合作与探究例1：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.45°30°POBA200米C200米POBA45°30°D答案:米)3100300(合作与探究变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.例2：如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高.图4问题2：如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A到公路L的垂直距离AD为21米，A到公路点C的俯角为30°，到公路点B的俯角为60°，一辆汽车在公路L上沿CB方向匀速行驶，测得它从点C到点B所用的时间为0.4秒。（1)计算此车从点C到B的速度v为每秒多少米?（结果精确到个位，≈1.732）L60°30°CDAB3(2)如果此路段限定时速不超过60千米，判断此车是否超速？并说明理由。33.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔塔楼AB的高.更上一层楼217tan40,tan55255（参考数据：）答案：空中塔楼AB高约为105米濠河ABCD50m55°40°1．数形结合思想.方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.思想与方法2．方程思想.3．转化（化归）思想.45°30°200米POBD归纳与提高αβPACBOmhαββαABOPABOPαβmmhhmh解直角三角形应用（二）---坡度问题（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cba（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：2、解直角三角形的条件可分为两大类：①、已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一锐角、斜边）②、已知两边（一直角边，一斜边或者两条直角边）1、解直角三角形除直角外，至少要知道元素（这两个元素中至少有）两个一条边一、坡度、坡比及坡角的概念ABhl如图：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）则tanα=lhilhiα练习：（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_____;（2）已知一段坡面上，铅直高度为，坡面长为，则坡度i＝_______,坡角α＝______。33233033你会算吗？1、坡角α=45°坡比i=3、坡比为i=1∶3，坡角α的余弦值为1∶130°310102、坡比为,坡角α=1:3例1：如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m，坝高23m，斜坡AB的坡度ί=1:，斜边CD的坡度为ί’=1:1，求斜坡AB的长，坡角α和坝底AD宽。3ADBCαEF31:1'i3:1i例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度I’=1∶2.5，求斜坡坝底宽AD和斜坡AB的长．练习1如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，坡面AB的水平宽度为米，基面AD宽2米，求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.C2ABDEF3333:1练习2:修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所示，试求隧道BC的长.ABCi=5：3练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．课堂小结:1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．解直角三角形应用（三）---航海问题方向角北东西南A5828B北偏东58°南偏西28°例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？30º45º8千米ABCD某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？解：练习1：如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．北东ABCD解：（1）∵AB=36×0.5=18，∠ADB=60°，∠DBC=30°，∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=18＞16，∴B点在暗礁区域外．（2）过C点作CH⊥AF，垂足为H，在Rt△CBH中，∠BCH=30°，令BH=x，则CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°，∴AH=CH，∴18＋x=-x，∴x=9，∴CH=916，∴船继续向东航行有触礁的危险．答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险．练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动，距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？ABD东北45°C练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间（精确到1分）？OA30°60°南东BC北西练习4、一渔船上的渔民在A处看见灯塔在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求此时灯塔M与渔船的距离？练习6已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？练习7已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的过程.2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角形的知识.3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行:⑴寻找直角三角形,若找不到,可构造;⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中的数量关系,设x求解.【课堂点睛】: