变换

1（一）旋转对象例1画一个正方形运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转－900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边。操作步骤：1、画线段AB。2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图1的设置。图14、双击点B，标记新的中心。5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中作如图2的设置。2图26、连结上方两个顶点得第四边。拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。例2中心对称运行结果：拖动点F，使∠DEF从00到1800变化，中间结果3最后结果基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习“按标记的角”旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为00，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从00到1800，可以看到旋转1800后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图3。图32、用选择工具双击点O，标记为中心。3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕点O旋转1800，得如图4。4图44、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，由菜单“变换”---“标记角”，如果标记成功，会看到一段小动画。5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的对话框中作如图5的设置。图56、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图6。图67、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与△ABC重合。说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。练习：51、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？（二）平移对象平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。在极坐标系中最多可以组合出四种方法，如图7如图77图8在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图86按标记的向量平移有一种方法，如图9图9例3画一个半径为2cm的圆运行结果：得到一个半径为2cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距2cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。操作步骤：1、画一个点A。2、选取点A，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图10的设置，平移后得如图11。A'A图10图113、选中这两点，（先选的为圆心），由菜单“构造”---“以圆心和圆周上的点绘圆”。4、最后得如图12，无论如何移动，圆的半径固定为2cm。7图12例4全等三角形运行结果：图13拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。3、在线段上画一点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画△ABC。2、画线段DE，在DE上画一点F；3、用选择工具先选取点D，后选取点F，由菜单“变换”---“标记向量”，标记从点D到F的向量。4、选取△ABC的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“平移”，在弹出的对话框中作如图14的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。8图145、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。例平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、用“画线段”工具和“文本工具”先完成如图。3、用“选择工具”按顺序选取点A、B，由菜单“变换”---“标记向量”标记一个从点A指向点B的向量。4、确保只选中线段AD和点D，由菜单“变换”---“平移”，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图。5、作出第四条边，改第四顶点标签为C。9（三）缩放对象缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换。其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，由菜单“变换”----“标记线段比例”（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以事先不标记，在弹出“缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），由菜单“变换”---“标记比例系数”，可以标记一个比。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，由菜单“变换”---“标记比例”，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例5相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响：10基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三角形以其中一个顶点为中心，按标记的比缩放。3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。操作步骤：1、画△ABC。2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图16。图163、在直线上画三个点D、E、F，用选择工具依次选取点D、E、F，由菜单“变换”---“标记比例”，标记一个比。4、选取三角形的三边和三个顶点，由菜单“变换”---“缩放”弹出缩放对话框后如图17下设置。单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，11图175、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。（四）反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。例6轴对称运行结果：从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。基本思路：1、画一条直线并标记它为镜面；2、在直线的一旁画一个三角形；3、选取这个三角形的全部，进行反射；4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。操作步骤：1、用画直线工具画一条直线。122、选中这条直线，由菜单“变换”---“标记镜面”，标记这条直线为对称轴。3、在直线的一旁画一个△ABC，结果如图18。图18图194、选取△ABC的全部，由菜单“变换”---“反射”，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图19。例用对称变换画一个等腰三角形。本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、先用工具完成到如图。3、用“选择工具”双击线段AD，标记为镜面。4、确保只选取了点B和线段AB，由菜单“变换”---“反射”，得如图。5、隐藏点D和线段AD，按Ctrl+H，隐藏这两个对象。6、画出第三条边，并改第三个顶点的标签为C，如图。任意拖动三个顶点之一，可以看到，无论形状如何改变，△ABC始终是等腰形。13（五）迭代与深度迭代问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，如图所示，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”B'ABB'AB例1、正十七边形的画法操作步骤：1、画两个点，让B点围绕点A旋转36017得B，连接BB。2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭代”，出现下面对话框143、单击B，对话框变为上图，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。（想一想，应让计算机重复画几条线段？）4、重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代规则数变为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化5、单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如上图：迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点15当然迭代的对象还有参数，请看进阶篇：再说迭代迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2例2、正n边形的画法运行结果：如图，选定参数n，按小键盘上的“＋”或“－”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出的）。基本思路：1、画两个点，标记其中一个点作为正n边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心按“标记的角度”旋转,得第二顶点；4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代”；5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以改变参数，得到动态的正n边形。操作步骤：一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）1、按“alt＋＝”键，调出计算器，输入“360°÷”（“°”由单位按钮输入）2、单击计算器的“数值”按钮3、单击“新建参数”按钮4、将新建参数的对话框改为下图165、单击新建参数的对话框的“确定按钮”后，单击计算器上的“确定按钮”，再调出计算器，计算n－1。画出点A和点B，如下图所示6、让B点，绕点A旋转“36060n”，得B，连接BB。如下图所示：二、深度迭代1、同时选取点B、“n－1＝5”；2、按住Shift键不放，单击菜单“变换”→“深度迭代”弹出如图5的迭代对话框；17图5说明：此步如不按住Shift键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正n边形，必须用深度迭代。3、单击工作区中的点B，使图5中“初象”下面框中的问号变成B，单对话框中的“迭代”按钮。4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、－”键可以改变n的大小。说明：参数可以减少到2以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学习到控制