Measuring chaos -Lyapunov__ exponents

MeasuringChaos(LyapunovExponents)1.LyapunovExponents2.LyapunovExponentsAlgorithmChaos–isaaperiodiclong-timebehaviorarisinginadeterministicdynamicalsystemthatexhibitsasensitivedependenceoninitialconditions.Trajectorieswhichdonotsettledowntofixedpoints,periodicorbitsorquasiperiodicorbitsast∞Thesystemhasnorandomornoisyinputsorparameters–theirregularbehaviorarisesfromsystem’snonlinearityThenearbytrajectoriesseparateexponentiallyfastLyapunovExponent01.SensitiveDependenceonInitialConditionseλDefinitionofLyapunovExponents1.Givenacontinuousdynamicalsysteminad-dimensionalphasespace,wemonitorthelong-termevolutionofaninfini’tesimald-sphereofinitialconditions.2.Thespherewillbecomeand-ellipsoidduetothelocallydeformingnatureoftheflow.3.Thei-thone-dimensionalLyapunovexponentisthendefinedasfollowing:x0p1(0)t-timeflowp2(t)p1(t)p2(0)x(t)()1limlog()iibtipttpo1(0)p3(0)p1()pt3()pt1111Aninitialmagnitude(0)inthedirectionoffirstprincipalaxisgrowsto,Thelinearsegmentgrowslik(0)ettpbpb12Theareaintheplaneofthefirsttwoprincipalaxeswillgrowliketb123Thevolumedefinedbythefirstthreeaxeswillgrowliketb00000m()Lyapunov1=lnxXfxXXfXXxXXXeXXuururruurururuurururuururuur对于一个维动力学系统初始条件误差随时间演化而导致的误差应满足如下方程：经过时刻以后，可以表示为：那么特征指数就定义为：101211121210()11lnln,(),().....,()'()'().....'()11limlnlimln'()'().....'()1limln'()onnxoonnnnnoonnonnoninixfxXfxXxxfxxfxxfxdxfxfxfxdxdxfxfxfxndxnfxnuruur对于一维不可逆混沌映射系统有：LyapunovexponentforLogisticMap?1(1)nnnxaxx1iN011lnf'(x)1ln2NlimNiNiiNaaxl22.22.42.62.833.23.43.63.84-6-5-4-3-2-101a22.22.42.62.833.23.43.63.84-6-5-4-3-2-101aLyapunovexponentforLogisticMap?TheLyapunovExponent(1)SomeCriticalRemarks:•Lyapunovexponent:Rateatwhichnearbyinitialtrajectoryvaluesdiverge•Lyapunovexponentsofastablesystemarenegative,whileachaoticsystemhasatleastonepositivelargestLyapunovexponentandseveralotherexponents,theirtotalsumbeingnegative.•ThemorepositivetheLargestLyapunovExponentthemorechaoticthesystem,i.e.themoreunpredictablethesystem.ThesignoftheLyapunovExponent(2)•0-thesystemattractstoafixedpointorstableperiodicorbit.Thesesystemsarenonconservative(dissipative)andexhibitasymptoticstability.•=0-thesystemisneutrallystable.Suchsystemsareconservativeandinasteadystatemode.TheyexhibitLyapunovstability.•0-thesystemischaoticandunstable.Nearbypointswilldivergeirrespectiveofhowclosetheyare.在d维相空间中每个方向都可以计算一个λ，d个Lyapunov指数就形成Lyapunov谱（它给出轨线在各个独立方向上发散或收敛速率，从而能刻划出混沌轨线局域不稳定性，是混沌对于初值敏感依赖性的定量判别）λ1≥λ2≥….≥λdλ0表示该方向的长度是伸长的λ0表示该方向的长度是收缩的TheLyapunovExponentSpectrum(3)Constructstatespacevector:ThesignsoftheLyapunovexponentsprovideaqualitativepictureofasystem’sdynamics(4)1Dmaps:λ1=λ:λ=0amarginallystableorbit;λ0aperiodicorbitorafixedpoint;λ0chaos.3DcontinuousdissipativeDS:(λ1,λ2,λ3)(+,0,-)astrangeattractor（奇异吸引子）;(0,0,-)atwo-torus（二维环面）(0,-,-)alimitcycle(极限环)(-,-,-)afixedpoint（不动点）一维不可逆映射混沌运动的Lyapunov指数与平均信息损失关系(5)维数D是吸引子几何结构复杂性程度的完全表征,它刻划奇异吸引子静态性质(不变测度),给出奇异吸引子上混沌运动过程中自由度估计;Lyapunov指数谱给出轨道在各个独立的相空间方向上发散或收敛速率,从而能刻划出混沌轨道局域不稳定性,是混沌轨道对于初始条件敏感依赖性定量判别;Kolmogorov熵则是关于混沌系统的初始信息损失速率的度量，给出可预测系统时间长度估计，从而提出混沌轨道的不可预测性及动力学复杂性定量描述。Chapter5:MeasuringChaos(LyapunovExponents)1.LyapunovExponents2.LyapunovExponentsAlgorithm(I)3.LyapunovExponentsAlgorithm(II)WolfAetal,DeterminingLyapunovexponentsfromatimeseries,PhysicaD,1985,16,285~317RosensteinMT,CollinsJJ,DelucaCJA,ApracticalmethodforcalculatinglargestLyapunovexponentsfromsmalldatasets,PhysicaD,1993,Vol65,117~134G.BaranaandI.Tsuda.AnewmethodforcomputingLyapunovexponents,Phys.Lett.A,1993,175,421-427Wolf算法()(),(),...,((1))iiiitxtxtxtmX111()()()()ootLLtLtLtt1可以找到在欧几里德意义上与之最近的一点，并设这两点之间的距离为。在经过较后的时间，初始长度将演化到长度。然后需要寻找一个新的数据点作取代，它应满足两条准则：（1）该点与演化后的基准点的分隔距离应该很小；(2）演化长度元与取代长度元之间角度变化应该很小。做演化和取代处理直至基准轨道遍历整个数据文件；根据所有这些点及长度元数值，可得'1101yapunov()1ln()MkkMkLtttLt到最大L指数估算结果。0234yapunovyapunov1MitMoiiAlnttAA12如果要计算次大的L指数，则要追踪一个点以及邻近两个点构成的三角形，如果这个三角形形变得太偏斜或其面积变得太大，重新取一个两边与原三角形两边夹角最小的三角形，继续跟踪，直到终点。则次大的L指数为：其中为三角形面积，据此可以得到，同理可求、等。原则上一直可＝以求到最后＋,Lyapunovn但由于实际时间序列的长度有限及噪声的影响等，只能较为可靠估计最大指数。重构时间序列选取基准点选取邻近点追踪演变过程至不符合条件，重新选点，重复迭代过程，至时间序列的终点计算Lyapunov指数scalmn为噪声尺度，scalmx为吸引子区域尺度选择取代点时，是以scalmnL(t)scalmx以及角度变化要小两条原则来设计程序的用Wolf程序计算Lyapunov指数运算速度很慢，而且对于scalmn，scalmx等参数的选取，计算结果极为敏感。对于典型的混沌系统—Lorenz系统：()xaxyyxzcxyzxybz使用四阶龙格-库塔方法，取系统参数a=16，b=45.92，c=4,计算时间步长=0.01(s)，初值为。序列长度选为20000,从2001个点开始取N=8000的时间序列用于Lyapunov指数的计算，结果如下表所示：000(,,)(10,1,0)XYZevolvescalmxscalmnλ1150.12.5452170.1-10.2774190.1-10.28421100.1-10.28071110.11.01011120.11.81831130.12.076711312.07531150.10.4745240.12.4815250.12.5083260.12.4105