【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第八章 第八节抛 物 线

第八节抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_____.(3)定点_____定直线上.相等不在2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程______(p0)_______(p0)______(p0)_______(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py顶点_______对称轴__________________焦点F_____F______F______F______离心率e=__O(0,0)y=0(x轴)x=0(y轴)p(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)21准线方程________________________范围______________________________________焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=_____|PF|=________|PF|=_____|PF|=_______px2px2py2py2x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R0px20px20py20py2判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是准线方程是()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()a(,0)4，ax.4(4)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点的弦，若A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2+p.()pF(,0)2212pxx,4【解析】(1)错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)错误.方程y=ax2(a≠0)可化为是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是准线方程是(3)错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.21xya，1(0,)4a，1y.4a(4)正确.当AB斜率不存在时，AB方程为结论显然成立；当AB斜率存在时，设AB的方程为与y2=2px(p0)联立消去y得：px2，pyk(x),2222222212122112222121212kpkxp(2k)x0,4p(2k)pxx,xx,k4ppyk(x),yk(x),22ppyyk[xx(xx)]24又由抛物线定义得：∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√222222ppp(2k)pk[]42k4p.12ppAFx,BFx,221.坐标平面内到定点F(-1，0)的距离和到定直线l:x=1的距离相等的点的轨迹方程是()(A)y2=2x(B)y2=-2x(C)y2=4x(D)y2=-4x【解析】选D.由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)为焦点的抛物线，且∴p=2，故方程为y2=-4x.p1,22.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()(A)-2(B)2(C)-4(D)4【解析】选D.椭圆的右焦点为(2，0)，所以即p=4.22xy16222xy162p2,23.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选D.由抛物线定义得p2AF445.224.抛物线y=8x2的准线方程为()【解析】选D.抛物线y=8x2的标准方程为∴焦点在y轴上，且∴准线方程为1Ax2Bx211CyDy83221xy8，112p,p,8161y.325.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于_______.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则∴弦AB的中点的横坐标为∴中点到直线的距离为：答案:1x02121ABxx4,2127xx,212xx7.241x02719().424946.抛物线y2=4ax的焦点坐标是_________.【解析】当a＞0时，抛物线开口向右，因此焦点坐标为当a＜0时，抛物线开口向左，因此焦点坐标为答案:(a,0)p2p4a,a,2p(,0)a,0;2p2p4a,a2，p(,0)a,0.2考向1抛物线的定义及其应用【典例1】(1)(2013·天津模拟)已知动圆过定点且与直线相切，其中p0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_______.(2)(2012·安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝______.(3)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_______.pF(,0)2，px2【思路点拨】(1)利用已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.(2)利用抛物线的定义求出A点坐标，将直线AF的方程与y2=4x联立，求出B点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.(3)利用抛物线的定义，将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，数形结合求解.【规范解答】(1)设M为动圆圆心，过点M作直线的垂线，垂足为N，由题意知|MF|=|MN|，即动点M到定点与定直线的距离相等，由抛物线定义知：点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为y2=2px(p0).答案:y2=2px(p0)px2pF(,0)2px2pF(,0)2px2(2)由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|=3，由抛物线定义知，点A到准线x=-1的距离为3，∴点A的横坐标为2，将x=2代入y2=4x，得y2=8,由图知，y22,∴直线AF的方程为又由图知，点B的坐标为答案:A(2,22),y22x1.21x2,x,y22x1,2y22.y4x,y2,解得或1(,2),213BF1.2232(3)如图，由抛物线的定义知，点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0，2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然当P0，F，(0，2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于22117(0)20.22答案:172【互动探究】在本例题(2)的条件下，如何求△AOB的面积？【解析】由题(2)的解析知1A(2,22),B(,2),2AOBAB113S|OF|yy1|222|2.222【拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选】设M(x0,y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()(A)(0,2)(B)[0,2](C)(2,+∞)(D)[2,+∞)【解析】选C.圆心到抛物线准线的距离为p,即4.根据已知只要|FM|4即可.根据抛物线定义，|FM|=y0+2由y0+24，解得y02,故y0的取值范围是(2,+∞).考向2抛物线的标准方程与性质【典例2】(1)将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()(A)n=0(B)n=1(C)n=2(D)n≥3(2)(2012·山东高考)已知双曲线C1：(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()2222xy1ab＝222283163AxyBxy33Cx8yDx16y【思路点拨】(1)利用抛物线的性质及正三角形的性质，数形结合求解.(2)先利用离心率为2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p，从而求解.【规范解答】(1)选C.根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数n=2.(2)选D.因为双曲线C1：(a0,b0)的离心率为2，∴双曲线的渐近线方程为∴抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为∴所求的抛物线方程为x2=16y.2222xy1ab＝22cab2,b3a,aa3xy0,pF(0,)2p|30|22,p8.2【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.【变式训练】(1)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为()(A)(B)1(C)2(D)4【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：所以p=2.12px2，p342，(2)焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是_______.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时，∴p=8,此时抛物线方程为y2=16x；当焦点为(0，-2)时，∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案:y2=16x或x2=-8yp4,2p22，考向3直线与抛物线的综合问题【典例3】(2013·广州模拟)如图所示，F是抛物线x2=2py(p0)的焦点，点R(1，4)为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.(1)求抛物线的方程.(2)已知过点P(0，-1)的直线l与抛物线x2=2py(p0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.【思路点拨】(1)利用抛物线定义借助数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.(2)建立l的方程并与x2=2py(p0)联立消去y得一元二次方程，使判别式Δ0求斜率的取值范围，再建立l1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.【规范解答】(1)设抛物线的准线为l,过Q作QQ′⊥l于Q′，过R作RR′⊥l于R′，由抛物线定义知|QF|=|QQ′|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ′|≥|RR′|(折线段大于垂线段)，当且仅当R，Q，R′三点共线时取等号.由题意知|RR′|＝5，即故抛物线的方程为x2=4y.p45p22，(2)由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=kx-1,则依题意，有Δ=16k2-160⇒k-1或k1.由所以抛物线在A处的切线l1的方程为22ykx1,x4kx40x4y,①2211x4yyxyx,4222111111111yxxxx,yxxx.4224即令y=-1,得同理，得注意到x1,x2是方程①的两个实根，故x1x2