28常微分方程的数值解法

第九节常微分方程的数值解法•一阶常微分方程的初值问题：•节点：x1x2xn•步长为常数00)(),(yxyyxfdxdy1iixxh•一欧拉方法（折线法）•yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1,,n1)•优点：计算简单。•缺点：精度不高。•二改进的欧拉方法)(21),(),(11cpipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy•三龙格—库塔法(Runge-Kutta)•欧拉公式可改写为•（它每一步计算f(xi,yi)一次，截断误差为O(h2))),(111iiiiyxfkhkyy•改进的欧拉公式可改写为•（它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3))),(),()(2121211hkyhxfkyxfkkkhyyiiiiii•标准四阶龙格—库塔公式•（每一步计算f(x,y)四次，截断误差为O(h5))),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyyiiiiiiiiii•例分别用改进的欧拉格式和四阶龙格—库塔格式解初值问题（取步长h=0.2）：1)0(2yyxyy)10(x•表7—4•节点改进欧拉法四阶龙格—库塔法准确解•0111•0.21.1866671.1832291.183216•0.41.3483121.3416671.341641•0.61.4937041.4832811.483240•0.81.6278611.6125141.612452•11.7542051.7321421.732051•（注：书中P60已指出过准确解）xy21•四误差的控制•我们常用事后估计法来估计误差，即从xi出发，用两种办法计算y(xi+1)的近似值。•记为从xi出发以h为步长得到的y(xi+1)的•近似值，记为从xi出发以h/2为步长跨•两步得到的y(xi+1)的近似值。设给定精度为•。如果不等式•成立，则即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值。)(1hiy)2/(1hiy)(1)2/(1hihiyy)2/(1hiy•为了使初值问题的数值解达到事先指定的精度要求，我们采用不断缩短步长的办法（类似于变步长梯形法则所做的那样）。•从xi出发求y(xi+1)的满足精度要求的近似值的具体步骤如下：•第一步由xi出发，以xi+1为目标，•计算及•第二步如果，即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值，否则，继续下一步)2/(1)(1,hihiyy)(1)2/(11hihiyy1)2/(1hiy••第三步如果，则将步长h折半，•从xi出发以区间[xi,xi+1]的中点（记为）•为目标，判别•如果，则得的满足精度要求•的近似值，然后从出发，以xi+1为•目标，重复上述步骤，否则继续下一步12/1ix)(2/1)2/(2/12/1hihiyy2/1)(2/1ixy)2/(2/1hiy2/1ix••第四步如果，则将步长再•折半，从xi出发以区间的中点•（记为）为目标，判别•如果，则得的满足精度•要求的近似值，然后从出发，•以xi+1为目标，重复上述步骤，否则继续•下一步2/1],[2/1iixx4/1ix)(4/1)2/(4/14/1hihiyy4/1)(4/1ixy)2/(4/1hiy4/1ix•第N+2步必有，从而得•的满足精度要求的近似值，•然后从出发，以xi+1为目标，重复上•述步骤，，最后得到y(xi+1)的满足精度•要求的近似值yi+1N2/1)(2/1Nixy)2/(2/1hiNyNix2/1卷积•在求拉氏逆变换的过程中，卷积往往有着重要的应用价值。•定义称•为函数f1(t)与f2(t)的卷积。•注意：当t0时，f1(t)=f2(t)0dtfffft)()(*20121•交换律f1*f2=f2*f1•例1求t*sint•分配律f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3•例2求•函数是卷积的“单位元”。f*•卷积定理•L[f1(t)*f2(t)]=L[f1(t)]L[f2(t)]=F1(p)F2(p)•(或[F1(p)F2(p)]=f1(t)*f2(t))•即：卷积的拉氏变换等于拉氏变换的乘积。•由此卷积定理，可方便地求出拉氏逆变换。1LOtt•例3若•求f(t))1(1)(22pppF布置作业：•P63:1（龙格—库塔格式）