论证阿贝尔定理错误 (1)

论证阿贝尔定理的错误作者：江西临川江国泉阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数根式求解公式。这是一个错误的结论。首先，他论证的方法是错误的。是片面的。阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方法来论证的，这个出发点就是一个重大错误。这种方法只对研究低于五次方程有效。这是因为，较低次的方程，中间项次少，不需要利用方程组形式，就可将方程换元配方成可开根式的方程，达到开方降次的目的，而五次或更高的方程，由于中间项次多，只能用方程组办法，将其化成能开根式的方程，仅用预解式的办法，没有办法将如何将那么多中间项化成可开根式的形式。也就是说，他所设想的不断添加的根式，是用预解方程组变换而成，决不再是预解式所能产生的。利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法1、二个数学新定理介绍定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，则相同解方程式必可求出。利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。因此，我们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，这个方程必与原方程有同解。2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。这个应用在此不作详细介绍。2、同解方程式必可求定理论证过程同解方程式必可求出定理定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。论证过程由于论证过程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程x3＋ax2＋bx＋c=0与方程x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0若有公共相等根存在来推导它们的公解方程：由于x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0的左边x4＋mx3＋nx2＋px＋q总可可化成二部分,即一部分可以整除另一方程左边x3＋ax2＋bx＋c的一部分和不能整除x3＋ax2＋bx＋c的另一部分,因此方程又化成：（x3＋ax2＋bx＋c）（x＋m－a）＋（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0；的形式.由于它们存在同解，它们的公共根必须代入二个方程都成立，当：x2的系数（n＋a2－am－b）≠0时因为这个公共根代入（x3＋ax2＋bx＋c）（x＋m－a）等于零，所以代入（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。否则它不是公共根,因此公共根必存在在方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0之中，如果已知二个方程存在2个同解根，则方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0，就是二个方程的同解方程式。当x2的系数（n＋a2－am－b）=0，而x系数（p＋ab－bm－c）≠0则二个方程之间的同解方程必为：（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0；当（n＋a2－am－b）=0又（p＋ab－bm－c）=0时二个方程的公共根方程为：x3＋ax2＋bx＋c=0（说明：前题已告之二个方程有公共根）当x2的系数（n＋a2－am－b）≠0，而已知前题是二个方程只存在一个公共根时，公共根方程必须继续推导下去。前面推导已经知道，公共根即存在于方程x3＋ax2＋bx＋c=0中，又存在于方程（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0中，而方程：（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0除以（n＋a2－am－b）变成：x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）=0；方程x3＋ax2＋bx＋c=0：的左边可化成二部分即：能整除x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）的一部分和不能再整除x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）余数部分，即方程x3＋ax2＋bx＋c=0化成如下形式：｛x2＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）｝｛x＋【a－（p＋ab－bm－c）/（n＋a2－am－b）】｝＋｛b－【（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）】－（p＋ab－c－bm）【a（n＋a2－b－cm）－（p＋ab－c－bm）】/（n＋a2－b－am）2｝x＋c－【（q＋ac－cm）】【a（n＋a2－am－b）－（p＋ab－bm－c）】/（n＋a2－am－b）2=0；同前理公共根应存在在余数等于零的方程中。即方程：｛b－【（q＋ac－cm）/（n＋a2－am－b）】－（p＋ab－c－bm）【a（n＋a2－b－cm）－（p＋ab－c－bm）】/（n＋a2－b－am）2｝x＋c－【（q＋ac－cm）】【a（n＋a2－am－b）－（p＋ab－bm－c）】/（n＋a2－am－b）2=0；因此说，只要二个方程存在同解，就可以推算出它们的同解方程式。总结规律：任意两个一元高次方程之间如果它们之间存在公共相等根,要推导出它们的公共根方程来,都可采取把较高次方程的左边拆成二部分，一部分能整除较低次方程左边的那部分，和另一部分即余数部分。由于二个方程的公共解必存在于余数等于零的方程中，这样多次反复拆分，就必可求出公解方程式了。3、同解方程判别定理的论证过程：同解方程判别定理定理：任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。论证过程：由于证明这个结论具有明显的规律性，所以，我以方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0为例来找推导规律。首先推导它们的判别式。假设方程x2＋mx＋n=0的二个根分别为x1，x2如果二个方程之间有公共等根存在，则将x1，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0必有：（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）=0展开变成：x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2=0；根据韦达定理根与系数有如下关系：（x1＋x2）=－m，x1x2=n，又可推出：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2=（－m2）－2n=m2－2n；（x12x2＋x1x22）=x1x2（x1＋x2）=－mn；（x12x22）=n2；（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn；（x13x2＋x1x23）=x1x2（x12＋x22）=n（m2－2n）=m2n－2n2；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；x13x23=n3；将以上等量代换至展开式变成：n3＋a（－mn2）＋b（m2n－2n2）＋c（－m3＋3mn）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m2－2n）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0；这就是关于方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0是否有公共根的判别式。现在我们再来论证一下，如果方程x3＋ax2＋bx＋c=0和方程x2＋mx＋n=0的系数存在n3＋a（－mn2）＋b（m2n－2n2）＋c（－m3＋3mn）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m2－2n）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2=0的函数关系时，二个方程间必存在相等根的问题。论证过程如下：证法一：假设二个方程之间没有相等的根，说明将方程x2＋mx＋n=0的二个根x1，x2分别代入方程x3＋ax2＋bx＋c=0都不成立，即：（x13＋ax12＋bx1＋c）（x23＋ax22＋bx2＋c）≠0展开变成：x13x23＋a（x13x22＋x12x23）＋b（x13x2＋x1x23）＋c（x13＋x23）＋a2（x12x22）＋ab（x12x2＋x1x22）＋ac（x12＋x22）＋b2（x1x2）＋bc（x1＋x2）＋c2≠0；根据韦达定理根与系数有如下关系：（x1＋x2）=－m；x1x2=n；又可推出：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2x1x2=（－m2）－2n=m2－2n；（x12x2＋x1x22）=x1x2（x1＋x2）=－mn；（x12x22）=n2；（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3x1x2（x1＋x2）=－m3＋3mn；（x13x2＋x1x23）=x1x2（x12＋x22）=n（m2－2n）=m2n－2n2；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=－mn2；x13x23=n3；将以上等量代换至展开式变成：n3＋a（－mn2）＋b（m2n－2n2）＋c（－m3＋3mn）＋a2（n2）＋ab（－mn）＋ac（m2－2n）＋b2（n）＋bc（－m）＋c2≠0，结果和前题相矛盾。说明假设不成立。而判别定理成立。证法二：根据上术判别式的推导过程知道，所有存在有公共相等根的二个方程中，都必可推导出判别式等于零的结论，没有一例能推导出判别式不等于零的现象。又由于所有没有公共相等的二个方程，都必可推出判别式不等于零的结论，没有一例能推导出判别式等于零的情况。会不会出现判别式等于零，而二个方程之间却没有公共相等根呢？我们对这个问题分析一下，如果会出现这种情况，这就说明在没有公共相等根方程总集中，还是有些出现判别式等于零的现象。与没有一例能推导出判别式等于零的情况相矛盾。因此说明上术的假设是错的。同理可推出方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋d=0与方程x2＋mx＋n=0是否存在公共根的判别式。推导过程如下：我们设方程x2＋mx＋n=0的二个根分别为：x1和x2由于方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋=0与方程x2＋mx＋n=0存在公共根；则分别用x1和x2代入方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋d=0中必有：（x14＋ax13＋bx12＋cx1＋d`）（x24＋ax23＋bx22＋cx2＋d）=0；展开得：x14x24＋a（x14x23＋x13x24）＋b（x14x22＋x12x24）＋c（x14x2＋x1x24）＋d（x14＋x24）＋a2（x13x23）＋ab（x13x22＋x12x23）＋ac（x13x2＋x1x23）＋ad（x13＋x23）＋b2（x12x22）＋bc（x12x2＋x1x22）＋bd（x12＋x22）＋c2（x1x2）＋cd（x1＋x2）＋d2=0；由韦达定理可知x1＋x2=－m,x1x2=n又可推导出如下等式：（x12＋x22）=（x1＋x2）2－2（x1x2）=m2－2n；（x12x2＋x1x22）=（x1x2）（x1＋x2）=－mn；（x12x22）=n2；，（x13＋x23）=（x1＋x2）3－3（x1x2）（x1＋x2）=－m3＋3mn；（x13x2＋x1x23）=（x1x2）（x12＋x22）=n（m2－2n）=m2n－2n；（x13x22＋x12x23）=（x12x22）（x1＋x2）=n2（－m）=－mn2；（x13x23）=n3；（x14＋x24）=（x12＋x22）2－2（x12x22）=（m2－2n）2－2n2=m4－4m2n＋2n2；（x14x2＋x1x24）=（x1x2）（x13＋x23）=n（－m3＋3mn）=－m3n＋3mn2；（x14x22＋x12x24）=（x12x22）（x12＋x22）=n2（m2－2n）=m2n2－2n3；（x14x23＋x13x