38平面向量的坐标运算及共线坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示复习引入如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使1122aee12,12,eea对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和一对实数对应平面向量基本定理平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立，aaxiyj则称（x，y）是向量的坐标。aji如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.ij、记作：(,)axyaaa(4)如图以原点O为起点作，点A的位置被唯一确定.aOAaOxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示aaji(x,y)A此时点A的坐标即为的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)a注意：（3）两个向量相等的充要条件：1122(,),(,)axybxy(6)22axy平面向量的坐标运算解：两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差）1.已知，，求,11(,)axy22(,)bxyabab1122()()abxiyjxiyj1212()()xxiyyj1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy同理可得：例3．已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标．(,)xya3(,),.axyRa、已知=和求平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(2,1),(3,4),,,34abababab1.已知求的坐标。例（-1，5）平面向量坐标运算法则应用（5，-3）（-6，19）平面向量的坐标运算思考1已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。平面向量的坐标运算12345xy501234－1－1－2－2－3－4－5CABD－66思考1已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。平面向量的坐标运算ABCDxyO解：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）思考1已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。平面向量的坐标运算思考1已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。ABCDxyO另解：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）平面向量的坐标运算小结回顾请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABabab(,)(,)axyxy=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)aba=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→4、其中≠,a→0→有且只有一个实数λ，使得a→b=λ→即：（x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)所以x2=λx1y2=λy1消去λ得：x1y2-x2y1=0a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→其中x1y2-x2y1=0a∥→b→∥a∥→b→(0)a平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的两种表示形式:x1y2-x2y1=0(2)ab(a0)a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→有且只有一个实数λ,使得a→b=λ→(1)ab(a0)∥∥例6已知a=（4，2）,b=（6，y）且a∥b，求y的值.解：∵a∥b∴4y-2×6=0解得y=3典型例题),,1(xa)2,(xb例7已知点A(1，3)，B(3，13)，C(6，28)求证：A、B、C三点共线.证明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)BC=(6-3,28-13)=(3,15)∴2×25=5×10∴AB∥BC又∵直线AB、直线BC有公共点B∴A、B、C三点共线典型例题例8:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(1)M1212121()2(,)22OPOPOPxxyy解:(1)所以，点P的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)xyOP1P2P例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是。（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2PxyOP1P2P.221153.22212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP设，，P分所成的比为，如何求P点的坐标呢？),(111yxP),(222yxP21PP),(111yyxxPP　　),(),(2211yyxxyyxx　　),(222yyxxPP21PPPP)()(2121yyyyxxxx　　112121yyyxxx112121yyyxxx有向线段的定比分点坐标公式21PP有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx小结1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。