层次分析法课件

层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHP什么是层次分析法？日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1某人准备选购一台电冰箱他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，各种因素的影响很难量化，从而给用数学方法解决问题带来不便。T.L.Saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。具有系统性、实用性与简洁性的特点。一、层次分析法的基本思路：先分解后综合整理综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系将因素按不同层次聚合，形成一个多层分析结构模型，最终归为最底层相对于最高层相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。层次分析法的步骤：1、建立层次分析模型2、构造判断矩阵3、层次单排序及其一致性检验4、层次总排序及其一致性检验二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立层次结构模型将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层；例1选择钢笔的层次结构准则层方案层目标层例2选择旅游地的层次结构准则层A方案层B目标层Z递阶层次结构的一般形式：递阶层次结构的特点：1、从上到下的顺序存在着支配关系；除第一层外，每一个元素至少受上一层一个元素的支配；除最后一层外，每一个元素至少自配下一层一个元素；上下层元素的联系比同一层元素的联系要强，故认为同一层元素之间不存在支配关系。2、整个层次中的层数与问题复杂程度和分析的详尽程度有关，可不受限制。3、最高层只有一个元素；4、每个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可进一步分组（层）。5、完全相关结构：上层的每一个要素与下层的每一个要素都存在联系不完全相关结构：上层的每一个元素并不是与下层的每一个要素都存在联系。6、扩展形式：内部依存关系的递阶层次结构、反馈层次结构指标设置原则1、科学性原则2、系统性原则3、独立性原则4、层次性原则5、实用性原则6、简易性原则人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty等人的做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。2构造成对比较矩阵（判断矩阵）１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同ij第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明显强第个因素比第个因素的影响绝对地强iiiijjjj含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。jijiijaa1设某层有个因素，nnxxxX,,,21ijaijjiijaa1nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211An要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。由上述定义知，成对比较矩阵nnijaA;0,1ija;1,2jiijaa则称为正互反阵。比如，在旅游问题中，某人给出第二层C的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足以下性质:ZC1C2C3C4C5C1C2C3C4C511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311.1,3iia54321,,,,CCCCC分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A表示景色与费用之比为1：2，表示景色居住条件之比为4：1，…，可以看出，此人在选择旅游地时，费用因素最重要，景色次之，居住条件再次。旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？1212a134a构造成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A1215121215211C1383113813112C131313113113C114111314314C144411141115C3、层次单排序和一致性检验如果一个正互反矩阵A满足则称A为一致性判断矩阵。但上例子中，如果该判断矩阵是一致的那么应该等于8，但是由判断矩阵可以看出但是，n个因素要作n(n-1)/2次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了！因此，Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素对因素z的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这一点，我们先看成对比较完全一致的情况。），，，，（n2,1kjiaaaikjkij8aa132123a7a2354321CCCCC，，，，一致阵的性质njiaaaiijiij,,2,1,,1,1.1也是一致阵TA.21.3ArankA的各行成比例，则。特征根均等于个其余的最大特征根（值）为01,.4n-nλA5.A的任一列(行)都是对应于特征根n的特征向量。计算权向量的方法原理所以其权向量为T），，（n21权向量就是归一化处理后的最大特征值所对应的特征向量计算权重的近似方法1和法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得niijijijaaw1/~b)对ijw~按行求和得njijiww1~~c)归一化Tn)~,,~,~(~21wTn),,,(21wniiii~/~d)计算Aw2根法按行求积并开n次方（几何平均），即nijniw11ja~e)计算niiiwn11)(Aw，最大特征值的近似值。接下来便与和法相同3对数最小二乘法用拟合方法确定权向量使得逼近aij，为此要求残差平方和达到最小，即T），，（n21ji/2nji1)/ln(lnminjiija1nnCI由于连续的依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量nijanAA的不一致程度。定义一致性指标AnAnCI=0时，为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重。注意到的个特征根之和恰好为，CI相当于除外其余的特征根的平均值。一致性检验：RI50021,,,AAA50021,,,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标定义随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标RI的数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511.0RICICRAA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。时，认为A例2，旅游问题A073.5110.0,099.0,055.0,475.0,263.0018.0155073.5CI12.1RI1.0016.012.1018.0CRA成对比较矩阵的最大特征值表明通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：54321,,,,CCCCC123CIRI1C595.0082.0429.0633.0166.0277.0236.0429.0193.0166.0129.0682.0142.0175.0668.0005.3002.33009.33003.0001.000005.058.058.058.058.058.0计算可知通过一致性检验。CR54321,,,,CCCCC0.00520.001700.008602C3C4C5CCR4层次总排序及其一致性检验Z1C2CmC1B2BnB,,,,21mCCCmC个因素层对总目标Z的排序为maaa,,,21jCCnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为),,2,1(,,,21mjbbbnjjj确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：即层第个因素对总目标的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:::Bi1mijijjcab层的层次总排序为：B层的层次总排序mCCC,,,21maaa,,,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21CB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,,,21C),,2,1(mjCjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。例2，旅游问题对总目标的权值为：1B3.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.032,BB,456.0,246.0456.0,246.0,3.01.0015.058.0/)0110.0005.0099.00055.0001.0475.0003.0263.0(CR又决策层对总目标的权向量为：同理得对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最