级数的收敛性

§1级数的收敛性§2正项级数§3一般项级数§1级数的收敛性1.计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即n10310003100310331.2一、问题的提出1.无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示nnnuuuu211为一个无穷级数，简称为级数.其中，un称为级数的一般项或通项.无穷级数的概念若级数1nnu的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un=un(x),则称级数)(1xunn为函数项级数.例1.下列各式均为常数项级数；214121211nnn;211nnn;)1(1111)1(111nnn.cos2cos1coscos1nnn例2.下列各式均为函数项级数,)1(1)1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa.1||x,sin2sinsinsin1nxxxnxn.Rx2.级数的敛散性定义无穷级数1nnu的前n项之和：,211nnkknuuuuS称为级数的部分和.若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，S称为级数的和：.1Sunn若nnSlim不存在(包括为)，则称级数1nnu发散.观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形播放,2,1)34(11nPPnn]})91[(4{31121AAAnnnn1121211)91(43)91(43913AAAAnn,3,2n周长为面积为]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA第次分叉：n于是有nnPlim)941311(lim1AAnn.532)531(1A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例3.讨论等比级数的敛散性.11nnar解：等比级数的部分和为：.1)1(1111rrarraraarSnnnkkn当公比|r|1时，,11)1(limlimrarraSnnnn即.1raS当公比|r|1时，.1)1(limlimrraSnnnn当公比r=1时，naSnnnlimlim当公比r=1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.nnSlim综上所述，当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散.例4.讨论级数的敛散性.1)12)(12(1nnn解：12112121)12)(12(1nnnn1211212171512151312131121nnSn121121n而21121121limlimnSnnn故，即该级数收敛.21)12)(12(11nnn3.收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为1nnu的和S与其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr显然.0limnnr二、级数收敛的必要条件定理：若级数1nnu收敛，则必有.0limnnu证设SSSunnnnlim,1则)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS例5.判别的敛散性.111)1(nnnn解：由于,11)1(lim||lim1nnunnnn故该级数发散.,0limnnu例6.证明调和级数是发散的.11nn证调和级数的部分和有：，11S，211122SS，221212114131211224SS328SS2312121211817161514131211由数学归纳法，得，212kSkk=0,1,2,而21limlim2kSkkk故nnSlim不存在，即调和级数发散.若c0为常数，则1nnu与1nncu有相同的敛散性，且.11nnnnuccu三、无穷级数的性质性质1证1nnu的部分和为，nkknuS11nncu的部分和为,11nnkknkkncSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim从而同时收敛或同时发散.11nnnnuccu若收敛，与11nnnnvu其和分别为S1和S2，则级数,)(1也收敛nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn性质2证1)(nnnvu的部分和为：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn即级数1)(nnnvu收敛，且.)(21111SSvuvunnnnnnn例7.因为等比级数收敛，与113121nnnn所以级数.31211也收敛nnn例8.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质3证设级数1nnu的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数1mkku的部分和为S'k:kmmmkuuuS21')()(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS由于Sm当m固定时为一常数，所以mkmkkkSSSlimlim故级数1nnu与级数.1有相同的敛散性mkku对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.性质4例9.考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.级数收敛.0limnnu证明1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun四、级数收敛的必要条件：注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数讨论nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)lim(2nnnss于是ss,0.级数发散)(210n便有.这是不可能的)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.级数发散由性质4推论,调和级数发散.五、小结1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.常数项级数的基本概念基本审敛法思考题设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？思考题解答能．由柯西审敛原理即知．一、填空题:1、若nnan242)12(31,则51nna=____________；2、若nnnna!,则51nna=______________________；3、若级数为642422xxxx则na_______；4、若级数为97535432aaaa则na________；5、若级数为615413211则当n_____时na_____；当n______时na________；6、等比级数0nnaq,当_____时收敛；当____时发散.练习题三、由定义判别级数)12)(12(1751531311nn的收敛性.四、判别下列级数的收敛性:1、n31916131；2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数61514131211的敛散性.练习题答案一、1、1086429753186427531642531422121；2、543215!54!43!32!21!1；3、)2(6422nxn；4、12)1(11nann；5、kkkk21,2,12.12；6、1,1qq.三、收敛.四、1、发散；2、收敛；3、发散、[nkknks12)10121(].五、发散.[取np2]§2正项级数正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.nsss212.正项级数收敛的充要条件:定理.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns部分和数列为单调增加数列.}{ns且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.证明nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较审敛法nvvv21nns则)()2(nsn设,nnvu且不是有界数列.1发散nnv推论:若1nnu收敛(发散)且))((nnnnvkuNnkuv,则1nnv收敛(发散).定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlv