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导体系的静电学•导体球几个静电问题•汤姆逊定理•电容系数和电势系数•电容的定义•两个相互接触的带电导体球•两个用导线连接的导体球•两个相交的导体球1.导体的静电学问题(1)导体的习惯定义a)电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的那种物体—即能导电的物体b)物体的单电子能带其导带和价带之间无能隙价带导带(2)导体内部不存在电荷1)静电平衡时导体内部无电场电荷只能分布于导体表面2)如果导体内存在电荷00jEE00DED000,,,0ttDEjEjet电荷衰减特征时间:19Cu:1.510s000,0,,00,0,ttt则对任何有则经过一段时间,导体内无电荷;若导体完全绝缘,电荷只能存在于导体有表面.00131221030,()40,,,.(,)QtRRRQrRRr设有一半径为的导体球电导率为介电常数为在此球内有一个同心的半径为有带电球体电荷为证:明1R2R1S2Sj12,SS两球之间的介质有内外表面101001111310212222032320,exp()exp()exp(),(0),4exp(),(),4,(),04ttQVVtQtQtErrRjERQtERrRjErQErRjr球1内的电荷:20203222220220[1exp()],()4[1exp()]:[1exp()]frRfQtrREERQSQtdQSQtdt上电荷增加率1112013121102223[1exp()]40[1exp()]0SVSSSQtjRjjdsjdVQtjdsjdsjds2112210exp(1)SSSjdsjdsjdsQt12SS单位时间内从面流出的电量=同一时间内面上的电荷增加量01957.510Qts经过一段时间,电荷全部转移到导体表面上Cu:约(3)导体的静电边值关系边值关系电荷分布于导体表面层内0fnEnDconst.,fSsdsQnns或0LangN.D.KohnW.fE根据和的研究指出:电荷分布于表面一过渡区域内,该过渡区域的尺寸为几个A,电场也不是不连续的.而是从导体内E=0平滑地上升,直到导体外表面的场强为止,该区域内场是坐标的线性函数.(PRB(1970,4555);PRB(1971,1215))l0E0Enz导体表面层00000()z0lim()/0fzlzlEEzzEElE0000(),lim()xyzflEEEEzzEzll解之得:00lim()()()1()(),flfflzzEzz理想情况为阶跃函数2.汤姆逊定理•若导体系的曲面位置固定不变,每一曲面放置一定的总电荷,则当电荷分布使每一曲面成为等势时,体系达到静电平衡.规律:任何体系处于平衡状态,其能量一般处于极小值.证明:设处于静电平衡状态的导体面上电荷有一无穷小的虚位移(保持导体上总电荷不变),从而导致体系的能量有一个变更.212iiiWEdWEEddd0iidQ,0iiiWd当为常数时导体为等势体时,其能量为极小值.等势态即为平衡态.按照汤姆逊定理,导体静电问题可分为两类:a)给定导体上的总电荷,电荷分布由静电平衡条件决定;b)给定导体上的电势,求导体上的总电荷及其分布.3.导体系电容系数与电势系数1122iiWdQ导体系能量表达式为,.能量由各个导体的电势及总电荷决定与电荷如何分布无关)iiiQ第个导体的电势是由所有导体上的电荷(包括产生的.1,iijjjijijijjiiijjjijijjiijijpQppppiQccpcc其中与导体的形状和相对位置有关其量纲为长度的倒数称为电势系数,对第个导体的电荷可用所有导体的电势来表示111,()().ijijijjiijjiiiijpcccccijccij称为电容系数,有长度量纲;称为感应系数11122:ijijijijijijWccQQ导体系的能量1,.cc由于能量是正定的且有限所以由线性代数可知或是正定的对称矩阵0,0()iiijccij4.电容器和电容的定义(1)),,.),,.ab电容器的定义两个带等值异号电荷的导体可以为任何形状导体的这种组合称为电容器采用静电屏蔽原理设计一种导体组合电容器就是这样的导体组合),,.c两个任意开关且相互靠近的导体在周围没有其它导体或带电体时它们就组成了一个电容器(2),(1)abQcUU对三种定义的分析第一种定义对导体形状无限制,但明确指出两种导体带等量异号电荷,很容易理解电容定义式..Q为各导体所带电荷的绝对值如果用导线连接,电荷将中和12,,,QQQQ第二种定义用静电屏蔽限定了两导体的组合形式,把电容器定义在一个特定的范畴之内,不论两导体所带电荷和的值如何两导体相对面上出现等值异号电荷和其定义为(2)(2).,,,:abQCUUQQ式的不同于(1)式的第三种定义对导体电荷无任何限制与约定两导体的组合都构成电容器定义电容(3).abQCUUQQ属于何种电荷?根据定义一和二可知,确定电容的电量一定等于要使两导体的电势相等时从一个导体转移到另一个导体上的电量1111122221122212:-QcUcUQcUcUQQ证明设有两个任意开关且彼此绝缘的导体.211221212112212=C(4)2cccQUUccc11111222211222121112221(5)2UpQpQUpQpQQCUUppp1212112111222212121121112222111222111222(5),(4),(5):()()()()()22QQUUppQppQQCUUUUppQppQpppppp由得(仍然成立),12,.TQ另一方面设电荷由导体转移到导体两导体电位相等'11'22''12'''1111122'''2211222TTQQQQQQUUUpQpQUpQpQ1121112222111222()()2TppQppQQppp12:,.TQQQQQ比较之说明当两导体的电荷时即使两个导体电势相等时所需要从一个导体转移到另一个导体的电量5.两个相互接触的带电导体球(1)点电荷与导体球的电象法处理20,,sQRQabRa0(2)U两个接触导体球设两个球的电势为100100212244/,qURqURqRqdbRddRR1121/()()nnnnnqRqdbbRdb通项为利用差分方程可得一般解:001216(2)(1)()nnnnURRqndLLbRRRd11[2(2)](1)(2)(1)nnnndLLndLLLRR1111112211120221122221220()()nnQqQcVcVccUQcVcVccU每个球上所带的电荷又111201212222101211122111221101212210121114(1)114(1)0,,014(1)14nnnnccRRndRndccRRndRndcccccRRndRcRRnd1201122121211100234(2)42(1...)42ln2QQQCQUcccRRCRR总电荷系统的电容当时GuopingTong.Eur.J.Phys.,1992,13(4):1866.连接两金属球导线上的电荷'0'111012211'122012121''112210121122212124sinh[sinhsin(1)]4sinh[sinhsin(1)]4sinh[sinh]cosh[()/2]iijjjmmmQcVcRRRmRmcRRRmRmccRRdmdRRRR导线未连接时,每个导体球上的电荷与电势的关系2R1R02Q01Q导线连接后1R2R2Q1Q1NNQQ34QQ2V1VVV1212312(2),NkkmmmdRRLLNrQcVVVVV123111()///NNwkm11313/(2)/(22)[14/]wQQNNKRSLS当两个球相等时当两个球的半径不相等时1221313122213(2)()[(22)(22)]wNNNQNKKKQKNKKKNK1211122212222222213113()/()()/()//NNNNNNKccccKccccRSrSKRSrSGuo-pingTong.Am.J.Phys.,1994,62(8):7097.两个相交的导体球•电容20,,sQRQdbRd10110222112122122244/,//,/qRVqRVqqRdaRdqqRdbRd221/21212(2cos/)dRRRRm211111212121/(),/()/(),/()(21)nnnnnnnnnnqqRdbaRdbqqRdabRdanm导体中像电荷的数目是2/(/)1211,2,3,....Nmmm总电荷111mmnnnnQqq电容是111/mmnnnnCQVCcc例:m=2221/2012124()CCRRRR0124()CRR22201212212221/2121234[2//()]()mCRRRRdRRdRdRRRRGuo-pingTong....,1996,17(4):244.EurJPhys
本文标题:导体系的静电学
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