高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题)

自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题)101.CBA是△ABC在平面α上的射影，那么CBA和∠ABC的大小关系是()(A)CBA∠ABC(B)CBA∠ABC(C)CBA≥∠ABC(D)不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等．102.已知:如图,△ABC中,ACB=90,CD平面,AD,BD和平面所成的角分别为30和45,CD=h,求:D点到直线AB的距离。解析：1、先找出点D到直线AB的距离,即过D点作DEAB,从图形以及条件可知,若把DE放在△ABD中不易求解。2、由于CD平面,把DE转化到直角三角形中求解,从而转化为先求DE在平面内的射影长。解:连AC,BC,过D作DEAB,连CE,则DE为D到直线AB的距离。∵CD∴AC,BC分别是AD,BD在内的射影。∴DAC,DBC分别是AD和BD与平面所成的角∴DAC=30,DBC=45在Rt△ACD中,∵CD=h,DAC=30∴AC=3h在Rt△BCD中自助家教网海量教学资源，免费下载∵CD=h,DBC=45∴BC=h∵CD,DEAB∴CEAB在Rt△ACB中ABACBCh222SACBCABCE1212·∴CEACBCABhhhh3232·∴在Rt△DCE中,DEDCCEhhh22223272()∴点D到直线AB的距离为72h。103.已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．求证：l⊥α证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO公用，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC自助家教网海量教学资源，免费下载∴PA=PB=PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，∵DODPD∴AB⊥平面POD∵PO平面POD．∴PO⊥AB．同理可证PO⊥BC∵AB，BC，BBCAB∴PO⊥α，即l⊥α若l不经过O时，可经过O作l∥l．用上述方法证明l⊥α，∴l⊥α．证法二：采用反证法假设l不和α垂直，则l和α斜交于O．同证法一，得到PA=PB=PC．过P作OP于O，则OCOBOA，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．∴假设l不和α垂直是不成立的．∴l⊥α若l不经过O点时，过O作l∥l，用上述同样的方法可证l⊥α，∴l⊥α评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．104.P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．（1）若PA=PB=PC，则O是△ABC的____________心．（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．自助家教网海量教学资源，免费下载（3）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．（4）若△ABC是直角三角形，且PA=PB=PC则O是△ABC的____________心．（5）若△ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC，则O是△ABC的____________心．（6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心；解析：（1）外心．∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．（如图答9-23）（3）垂心．（4）外心．（5）外心（6）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．（此外心又在等腰三角形的底边高线上）．105.将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置C在面ABC上的射影E恰在AB上．求证：CBCA分析：欲证CBCA，只须证CB与CA所在平面DCA垂直；而要证CB⊥平面DCA，只须证CB⊥DC且CB⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤自助家教网海量教学资源，免费下载了．证明：由题意，CB⊥DC，又斜线CB在平面ABCD上的射影是BA，∵BA⊥AD，由三垂线定理，得ADBC，DDADC．∴CB⊥平面ADC，而AC平面ADC∴CB⊥CA106.已知异面直线l1和l2，l1⊥l2，MN是l1和l2的公垂线，MN=4，A∈l1，B∈l2，AM=BN=2，O是MN中点．①求l1与OB的成角．②求A点到OB距离．分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了．解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中．OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂线定理，OB⊥CD，又CD∥MA，∴OB⊥MA即OB与l1成90°（2）连结BO并延长交上底面于E点．ME=BN，∴ME=2，又ON=2∴22OEOB．作AQ⊥BE，连结MQ．对于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ⊥EO．在Rt△MEO中，22222EOMOMEMQ．评述：又在Rt△AMQ中，62422MQAMAQ，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍∥自助家教网海量教学资源，免费下载然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的．107.已知各棱长均为a的正四面体ABCD，E是AD边的中点，连结CE．求CE与底面BCD所成角的正弦值．解析：作AH⊥底面BCD，垂足H是正△BCD中心，连DH延长交BC于F，则平面AHD⊥平面BCD，作EO⊥HD于O，连结EC，则∠ECO是EC与底面BCD所成的角则EO⊥底面BCD．aaDFHD33233232aaaHDADAH3632222aaAHEO66362121，aCE23∴322366sinaaECEOECO108.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．证明：假设H是△SBC的垂心，连结BH，并延长交SC于D点，则BH⊥SC∵AH⊥平面SBC，∴BH是AB在平面SBC内的射影∴SC⊥AB（三垂线定理）又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面内的射影∴AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）ABCHDS自助家教网海量教学资源，免费下载∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立．故H不可能是△SBC的垂心．109.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．解析：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．——6分作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．——8分∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=42，HO=2，HC=32．∴在Rt△HCG中，HG=2222322．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．自助家教网海量教学资源，免费下载∴OK=111122222HGGCHO．即点B到平面EFG的距离为11112．——10分注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．110.已知：AB与CD为异面直线，AC＝BC，AD＝BD．求证：AB⊥CD．说明：（1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路．（2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键．（3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法．证明：如图，取AB中点E，连结CE、DE∵AC＝BC，E为AB中点．∴CE⊥AB同理DE⊥AB，又CE∩DE＝E，且CE平面CDE，DE平面CDE．∴AB⊥平面CDE又CD平面CDE∴AB⊥CD．111.两个相交平面、都垂直于第三个平面，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直．证明：在内取一点P，过P作PA垂直与的交线；过P作PB垂直与的交线．∵⊥且⊥∴PA⊥且PB⊥自助家教网海量教学资源，免费下载∴PA⊥a且PB⊥a∴a⊥112.在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点．AC，BD交于O点．（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．解析：（Ⅰ）解：连QO，则QO∥PA且QO＝21PA＝21AB∵PA⊥面ABCD∴QO⊥面ABCD面QBD过QO，∴面QBD⊥面ABCD故二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BDCO⊥面QBDCH在面QBD内的射影是OH∵OH⊥QD∴CH⊥QD于是∠OHC是二面角的平面角．DCBHQO自助家教网海量教学资源，免费下载设正方形ABCD边长2，则OQ＝1，OD＝2，QD＝3．∵OH·QD＝OQ·OD∴OH＝32．又OC＝2在Rt△COH中：tan∠OHC＝OHOC＝2·32＝3∴∠OHC＝60°故二面角B－QD－C等于60°．113.如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2ABCDFEGA'自助家教网海量教学资源，免费下载∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC114.α、β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）证明如下：过不在α、β内的