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1.5.1曲边梯形的面积数学史上的三次危机第二次数学危机──无穷小是零吗?第一次数学危机──无理数的发现第二章──数系的扩充与复数第三次数学危机──悖论的产生第三章──推理与证明微积分(数学分析)微分导数极限理论等微分学积分学定积分不定积分曲边梯形的面积问题2:圆面积公式是如何推导的?问题1:最基本、最奇妙的曲边图形是什么?三国时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积“…割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣…”割圆术:刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积1.曲边梯形:在直角坐标系中,由连续曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。一.求曲边梯形的面积abxyxfyoafbf15.1图如何求曲边梯形的面积?下面我们先研究一个特殊情形:由抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积xyOy=x21S=?(1)分割把区间[0,1]等分成n个小区间:],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形,他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21n1n2ninnxOy2xyniinSS1即35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图xnifnixxfninixn,.11,,,,1,,,35.12(2)近似代替n1n1inix因为35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.n,,2,1in1n1ixΔn1ifSΔSΔ,,SΔSΔ,ni,n1i,.45.12'iii'i则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲nnixnifSSSnininiinn11145.1,22111'为中阴影部分的面积图由n1n1n102n1n1n222231n21n161n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.61n2n1n1n21222可以证明(3)求和.312111131lim11limlim,2111131,0,,,55.1,20,,8,41,01nnnifnSSSnnSxnnninnnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo(4)取极限.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0?,ξfni,n1iξ?31,?S,nifnin,,2,1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样作为近似值的函数值处取任意吗这个值也是若能求出的值吗用这种方法能求出处的函数值点上的值近似地等于右端区间在如果认为函数中近似代替在探究n1n2nknnxy2xynnn2ii1i1i12222311SSf()()nnnn1[12(n1)]niin(过剩近似值)n1n2nknnxy2xy2222331S[12(n1)]n1(1)(21)1111(1)(2)n663nnnnnn(过剩近似值).31ξfn1limxΔξflimS,ξfξni,n1ixxf,inn1iinii2都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxyxfyoafbf15.1图.,15.1,出其面积求和、取极值的方法求近似代替、我们也可以采用分割、曲边梯形所示的对如图所以得出结论:一般地y=f(x)baxyOA1用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积y=f(x)baxyO用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积y=f(x)baxyOy=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形,并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积,于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近1.当n很大时,函数在区间上的值,可以用()近似代替A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif0f练习2、在“近似代替”中,函数f(x)在区间上的近似值等于()A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)((1iiiixxfC1,iixx练习
本文标题:曲边梯形的面积(公开课)
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