空间向量的数量积运算(上课用)

2.共面向量定理：如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,pxaybp,ab复习回顾：1.共线向量定理：0,()=abbabab空间中任意两个向量共线（）的充要条件是存在实数，使得4、空间向量分解定理：如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc.3.P、A、B、C四点共面充要条件：(1)(,),xyAPxAByAC存在有序实数对使得(2),OOPOAxAByAC对空间中任意一点有,(1)OOPxOAyOBzOCxyz另：对空间中任意一点有1.空间两个向量的夹角已知两个非零向量,作则叫做向量的夹角.ba,,,bOBaOAAOBba与0,,.abab当时与同向1,,.abab当时与反向2关键是起点相同！记作:,ab0,ab,,abbaaboBbAa,,,,OAOBOBOAOAOBOAOB讲授新课2.定义：如果，，则称向量与互相垂直，记作ababababAaObB2.两个向量的数量积：||.定义：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作OAaOAaa||||cos||||cos,:.定义：已知两个向量,，则把，叫做向量、的数量积，记作，即abababababaabbba注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。ab的几何意义：cos,.abaababab数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积①22||aa即2||aa(求线段的长度);②ab0ab(垂直的判断);③cos,ababab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.3、空间向量数量积的性质||||||)5(,cos||)4(babaeaaea4.空间向量数量积运算律⑴⑵⑶()()()ababababba()abcabac（数乘结合律）（分配律）（交换律）注意：数量积不满足结合律，)()(cbacba思考：..0)1(请举出反例吗？如果不能，，能得到由，，，对于向量，则，若，，的数对于三个均不为cbcabacbacbacabcba(2)0().()?abcccabcababbakkabkabba对于三个均不为的数，，，若，则或对于向量，，若，能不能写成，或也就是说，向量有除法吗？也不满足消去率没有1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线,则：①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b||ab|③(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④D巩固练习：2.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.1法1:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1法2:数形结合法,发现形的特殊性.巩固练习：5.异面直线(1)异面直线的定义________________________的两条直线叫做异面直线．(2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直．不同在任何一个平面内平移到一个平面内锐角或直角直角////////)4(;)3(;)2(;11ABABDAABACABCAAB与与与与）（下列各对向量的夹角：、如图一个正方体，求例4513590180所成的角与引申：求异面直线BACB//、利用数量积法、平移法21利用数量积可以求异面直线所成的角21,cos||2||||||)()(||||||,,,////22///BACBaBACBaacaabBACBcbacAAbADaAB设////////:;,,;,,,2DCBACDABDClDCBAlBAl求证上的正射影分别为并且它们在内，在点上的正射影分别为并且它们在内，在点，平面、已知平面例AC||85AC例3.已知在平行六面体,求对角线的长.ABCDABCD4AB3,5,90,ADAABAD60BAADAAD'C'B'DABCA'利用数量积可以求模长||||5||,3||,4||,,,///cbaACcbaACcbacAAbADaAB所以设MNAB同理，MNCD例4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点.求证：.ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC利用数量积可以证明垂直0)(21))(2121()(,,aacbacbcaABCNACMAABMNcADbACaAB设例5已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.160211)2()1(:ABBFEDBC求证：所成的角与求异面直线引申322arccos利用数量积可以证明直线垂直应用:由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.ABA1C1B1C如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.2105759060B巩固练习：利用向量解决几何问题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，最后解决问题.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.ADCBabc解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabc巩固练习：作业:习题3.1第3题