空间图形的基本关系与公理课件

空间图形的基本关系与公理提出问题：1.用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，Why?2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏光就能检测桌面是否平整，Why?3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子本身的问题？4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ABABCDCD空间点、直线、平面的位置关系长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，棱所在的直线有些平行有些相交，还有些异面，等等．空间图形的基本关系：1.点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上；2.点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外；3.两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；4.直线与平面的位置关系有三种：包含、相交和平行；5.平面与平面的位置关系有两种：相交和平行。平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．（斜二测画法）DCABADCBEF被遮挡部分用虚线表示平面的画法为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面记作：平面的表示平面记作：平面常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．AB点A在平面内，记作．AB记作．点B在平面外，读作读作1.点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于符号来表示．AlABlAl点A在直线l上．点A在直线l外．AllAlA直线l在平面外．l直线l在平面内．平面经过直线l．l2.点与直线的关系3.直线与平面的位置关系l4.空间直线与直线之间的位置关系平行直线异面直线相交直线共面直线异面直线相交平行有且只有一个公共点没有公共点不同在任一平面，无公共点空间两条直线的位置关系若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行C'D'B'A'CDAB有一个背景作为衬托－－直观，空间立体感更强！怎么画异面直线呢？o异面直线的作图方法1lAB异面直线的作图方法2ab1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。•答：错。b例1.判断题1a4.例题a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线一定异面。abab判断题2NEXTBACK注2在不同平面内的两条直线不一定异面。例21）“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ且a不平行于b；②a平面，b平面且a∩b=Φ,③a平面，b平面,④不存在平面，能使a且b成立上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④C下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③EB和HG是直线BACDEFHG说出以下各对线段的位置关系?NEXTBACK例3O方法二（特点）:两条直线既不相交、又不平行.方法一（利用定义）：两条直线不同在任何一个平面内.2.判别异面直线的方法:NEXTBACK实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线所有的点都在这个平面内．（即直线在此平面内）ABllBAlBlA,,,作用：判定直线是否在平面内．公理在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，总结出的一些公认为正确的规律，我们把它作为公理．这些公理是进一步推理的基础．生活中经常看到用三角架支撑照相机．为什么？公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．ACB存在性唯一性作用：确定平面的主要依据．不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．思考题•过一条直线和直线外的一点可以确定几个平面？•过两条相交直线？可以确定几个平面•过两条平行直线可以确定几个平面？公理2的推论1•过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面BACl,,AlAl有且只有一平面使平面的性质推论2即：两条相交直线确定一个平面•过两条相交直线有且只有一个平面CABba平面的性质推论3即：两平行直线确定一个平面•过两条平行直线有且只有一个平面CBAba把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？BB把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线，为什么？平面的无限可延展性公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．lPlP且,作用：①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上．lP公理4平行于同一条直线的两直线互相平行（1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c（2）空间平行直线具有传递性（3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向理解：abcABCDEFGG例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）解：在（1）中，.,,BaAal.,,,,PlbPlabal在（2）中，典型例题在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：1111DCBAABCD1AC①直线在平面内；BBCC11A1AB1BC1CD1D错误随堂训练在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：1111DCBAABCD③由点A，O，C可以确定一个平面；A1AB1BC1CD1DO错误随堂练习在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：1111DCBAABCD④由确定的平面是；11,,BCA11BADC⑤由确定的平面与由确定的平面是同一个平面．11,,BCADCA,,1A1AB1BC1CD1D正确正确随堂练习课堂练习•一扇门用两个合叶和一把锁就可以固定了，你知道其中的道路吗？•M为直线l上的点，且不在平面内，则l与的公共点最多有：•过已知直线外一点最多可做几条直线和已知直线平行？•给你六根火柴棒，最多能做几个等边三角形？你做出的图形有几个顶点、条棱？公理2一个一条是正四面体40知识探究：等角定理思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？41思考2:如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'42思考3:如图，在空间中AB//A′B′，AC//A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？BCAB´C´A´EE´DD´43思考4:综上分析我们可以得到什么规律?定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？角的方向相同或相反25P异面直线所成的角1．两个平面重合的条件是（）A．有两个公共点B．有无数个公共点C．存在不共线的三个公共点D．有一条公共直线巩固练习：2．下列命题中，真命题是（）A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内c3．空间有四个点，其中任意三点不共线，可确定__________个平面．一个或四个D(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：．(0，π2]锐角(或直角)47例1如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?FGDAEBCH48例2如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?FAHGEDCBCDBAEFGH例3：在正方体中求作下列截面：ADCBC1B1A1D1MN(1),MNDMN为中点，作截面112DMBC----异面直线与所成的角的正切值为ADCBC1B1A1D1MNADCBC1B1A1D1MNADCBC1B1A1D1MNADCBC1B1A1D1MN4．下列说法中，正确的是________．①首尾相接的四条线段在同一个平面内；②三条互相平行的线段在同一个平面内；③两两相交的三条直线在同一个平面内；④若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一个平面内；⑤若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；⑥若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；⑦若lα，A∈l，则A∉α.解析：①错误，空间四边形四条边不在一个平面内；②错误，如三棱柱的三条侧棱不能共面；③错误，如从正方体一个顶点出发的三条棱不共面；④正确，由公理2的推论可知；⑤正确，由公理1可知；⑥正确，由公理3可知，两个平面的公共点都落在交线上；⑦错误，若l∩α＝A，则A∈α.答案：④⑤⑥．(2010·江苏南京)如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．证明：连结C1B、HE、GF，由题意知HC1平行且等于EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，故GF=12C1B，且C1B平行于GF∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交．设交点为K，则K∈HG，又HG平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF平面ABCD，∴K∈平面ABCD.∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点．在本题条件不变下，证明A1、H、E、C四点共面．证明：已知H、E分别是D1C1、AB中点，连结A1H、CE，取DC中点H1，连结HH1、AH1，由A1A平行且等于D1D，D1D平行且等于HH1得A1A平行且等于HH1，∴四边形A1HH1A为平行四边形，∴A1H∥AH1，同理得AH1∥EC，∴A1H∥EC∴A1H与CE共面，∴A1、H、C、E四点共面．再见