第四章 根轨迹法end

2020年1月26日1•4.1根轨迹法的基本概念•4.2根轨迹绘制的基本法则•4.3广义根轨迹•4.4控制系统的根轨迹分析法2020年1月26日2本章重点：•了解根轨迹的基本特性和相关概念；•掌握绘制根轨迹的方法；•学会利用根轨迹分析系统的性能：采用主导极点和偶极子的方法近似分析。2020年1月26日3n1jjm1ii*)ps()zs(K)s(H)s(G闭环极点（系统特征方程的根）的位置，决定了系统的稳定性、相对稳定些、快速性，而特征方程和开环传递函数之间有这样的关系：0)s(H)s(G1)s(D将开环传递函数写出零极点形式：其中，zi称为传递函数的零点，pj称为传递函数的极点，K*称为系统的开环根轨迹增益。本章研究特征方程的根与根轨迹增益（或等效增益）、开环零极点之间的关系，进而间接的去分析系统的稳定性和快速性。2020年1月26日44.1根轨迹的基本概念1、根轨迹概念1）定义：是指系统开环传递函数中的某一些参数变化时(由0变化到∞)，系统闭环特征根在s平面上变化而形成的轨迹。2）分类：a.当根轨迹增益K*变化时的根轨迹。负反馈系统(180度根轨迹)正反馈系统(0度根轨迹)b.参量根轨迹:根轨迹增益K*之外的参数变化时的根轨迹。2020年1月26日51)s5.0s(KR(s)(-)C(s)例4-1已知单位反馈系统结构图，试绘制其根轨迹。)2s(s*K)2s(sK2)s(G解：开环传递函数闭环特征方程0*K)2s(s0)s(H)s(G1)s(D*K11s2,1闭环特征根：1,21,21,21,2K*0s-2,00K*1s11K*K*1s-1,-1K*1s1K*1j不相等负实根不相等负实根相等负实根共轭复根表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2箭头表示根轨迹随着K*增大时移动的方向。2020年1月26日61,21,21,21,2K*0s-2,00K*1s11K*K*1s-1,-1K*1s1K*1j稳定性：当K*从0变化到无穷时，根轨迹都落在s左半平面，故系统闭环稳定。1）当0K*1时，系统处于过阻尼状态，响应为非周期过程。2）当K*=1时，系统处于临界阻尼状态，响应为非周期过程。3）当K*1时，系统处于欠阻尼状态，响应为振荡衰减过程。K*增大，阻尼减小，振荡剧烈。动态性能：表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2)2s(s*K)2s(sK2)s(G2、由根轨迹分析系统的性能指标2020年1月26日7稳态性能：当K*=0时的根即为开环极点，可知系统为I型系统，对阶跃输入信号，ess=0，对斜坡输入信号，kv可由根轨迹上的K*确定。表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2表示系统的闭环极点0j-1-2p1p2)2s(s*K)2s(sK2)s(G2020年1月26日83、闭环零极点与开环零极点之间的关系)s(G将G(s)、H(s)写成零极点形式：开环传递函数为*H*GKK、其中分别为前向通路和反馈通路的根轨迹增益。2020年1月26日92020年1月26日102020年1月26日114、根轨迹方程系统特征方程为：D(s)=1+G(s)H(s)=0n1iim1jj*)ps()zs(K)s(H)s(G根轨迹方程为：1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1jj*开环极点开环零点:p:zij),2,1,0k(e11)1k2(j而1|ps||zs|K)s(H)s(Gn1iim1jj*幅值条件方程)1k2()ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj相角条件方程2020年1月26日12注意：因为涉及到相角的求解、计算，故s平面的实轴和虚轴应采用相同的比例尺度。满足相角条件方程的点必是根轨迹上的点，可由相角条件求取系统的根轨迹，再由幅值条件求取该点处的K*值。1|ps||zs|K)s(H)s(Gn1iim1jj*幅值条件方程)1k2()ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj相角条件方程2020年1月26日13模值条件与相角条件的应用-0.825ξ=0.466ωn=2.34s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.262.112.612.0722.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o-1.5-1-20.592.49o66.27o78.8o127.53o2020年1月26日14模值方程与相角方程的应用S1=－1.5+j1.2553Lik*=0.2641.956θi39.91.35168.32.361147.91.3513.71834.6718111.7160.3164.4k*=0.266180.3o2020年1月26日15结论：•根轨迹上的点一定满足相角条件，且满足相角条件的点一定在根轨迹上，即相角条件是确定根轨迹的重要条件。•只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹增益时，才需使用模值条件。•绘制根轨迹只需使用相角条件。2020年1月26日165幅值条件和相角条件的应用1）用相角条件求根轨迹例4-2已知单位负反馈系统开环零极点分布图，试判断s1(-1,j),s2(-0.5,-j)是否在其根轨迹上。2）用幅值条件确定Kg值由上题可知s2是根轨迹上的点，可由幅值条件确定s2点处系统的根轨迹增益K*。j01p2p1-0.5j-j1s2s2020年1月26日174.2根轨迹绘制的基本法则)1k2()ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj相角条件方程1、绘制根轨迹的基本法则根轨迹方程为：1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1jj*1|ps||zs|K)s(H)s(Gn1iim1jj*幅值条件方程2020年1月26日18法则1、2根轨迹的分支数、对称性和连续性闭环特征方程为：2020年1月26日19法则3根轨迹的起点和终点：起于开环极点，终于开环零点，包括无限零、极点。说明当nm时，有n-m条根轨迹终于∞远处的无限开环零点；同理可得当mn时，有m-n条根轨迹起于∞远处的无限开环极点。2020年1月26日20法则4根轨迹在实轴上的分布证明：j-p1-p2-p3-p40-z1z2-z3-z4s0-z5j-p1-p2-p3-p40-z1z2-z3-z4s0-z5)1k2()ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj相角条件方程2020年1月26日21法则5根轨迹的渐近线mnzpm1jin1iiamn)1k2(a)1k2()ps()zs()s(H)s(Gn1iim1jj相角条件方程根轨迹方程为：1)ps()zs(K)s(H)s(Gn1iim1jj*135,45,4mn180,60,3mn90,2mn180,1mn2020年1月26日22例4-3已知系统的开环传递函数为：试采用上述法则确定根轨迹的大致形状。)22ss)(4s(s)1s(K)s(H)s(G2*解：1)起点:p1=0,p2=-1+j,p3=-1-j,p4=-4终点:z=-13)渐近线353z-p4p3p2p1a180,60mn)12k(a2)分支数：4，且对称于实轴p2j0p3-4-1zp1p4p2j0p3-4-1zp1p4σ2020年1月26日23法则6根轨迹的分离点和分离角n1iim1jjpd1zd1j0s1s2ll(2k+1)πk=0,1,,-12020年1月26日24计算：()()()1()()10()()rrKBsAsKBsGsHsAsAs()()0(1)rAsKBs闭环特征方程式：根据重根的条件，还必须满足：s()()0(2)rAKBs联立求解（1）（2），消去Kr得计算分会点公式为：s()()()()0(3)AsBAsBs注：将不在根轨迹上的s值舍去。2020年1月26日25例4-4已知系统的结构图如下图所示，试概略绘制根轨迹。2020年1月26日26法则6根轨迹的起始角和终止角js[]01p2p1z2z1z2z1p2p)12()()()()s(G11kpszssHniimjj相角条件方程2020年1月26日27)()1k2(nij1jppm1jpzpijiji)()1k2(n1jzpmij1jzzzijijiK为整数，合理选择K使得最终的角度在-180°到180°之间。2020年1月26日28出射角：000001211805590145145例4-5已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。2(2)()23rKsGsss1,2123233.735.47rssK分会点：取：对应：据此绘制根轨迹图如图。j1-1-2-3550900j-jp1p2z111,22,12zpj零极点：0,渐近线：2020年1月26日29例4-5已知系统的开环传递函数为，试概略绘制根轨迹。解：2020年1月26日30法则7根轨迹与虚轴的交点求法：（1）将s=jω代入闭环特征方程得：1+G(jω)H(jω)=0，再令左边复数多项式的实部、虚部分别为零，解不等式可得Kr和ω。则交点为：s=±jω。（2）根据闭环特征方程列劳斯表，令表中含有Kr的元素均大于零，解不等式可得Kr值；将此Kr值代入全零行上一行元素组成的辅助多项式，解之可得交点的s值。2020年1月26日31例4.2系统开环传递函数为，试绘根轨迹图。()()(2)(4)rKGsHssss解：G(s)H(s)有3条根轨迹，分别起于0，-2，-4，终止于无穷远处。m=0n=3:p1=0,p2=-2,p3=-4（1）实轴上：（－∞，-4），（-2，0）。（2）渐近线：42023(21),33k2020年1月26日32（3）分会点：由开环传递函数得：A(s)=s(s+2)(s+4)=s3+6s2+8sA′(s)=3s2+12s+8，B(s)=1，B′(s)=0则，分会点方程为：3s2+12s+8=0s1=-3.1(不在根轨迹上，舍去)。s2=-0.9为分会点。（4）与虚轴的交点：方法1：闭环特征方程为s3+6s2+8s+Kr=0令s=jω得：-jω3-6ω2+j8ω+Kr=0即-6ω2+Kr=0-ω3+8ω=0Kr=48ω=2.8s-12020年1月26日33s3方法2：闭环特征方程为s3+6s2+8s+Kr=0列劳斯表如下：s318s26Krs1s0Kr486rK令48–Kr＞0Kr＞0Kr=48得辅助方程6s2+48=0s=±j2.80jω-4-2σ×××s2-j2.8-0.9s1j2.8π/3-π/32020年1月26日34()()(1)(2)(5)rKGsHsssss例4.3已知系统开环传函为，试绘其根轨迹图。解：G(s)H(s)有3条根轨迹，分别起于0，-1，-2，-5，终止于无穷远处。m=0n=4:p1=0,p2=-1,p3=-2，p3=-50125(21)32,4444k（1）实轴上：（－∞，-1），（-2，-5）。（2）渐进线：（3）分会点：分会点方程为高阶