高二数学必修5第三章-不等式3.3.2《简单的线性规划问题》

3.3.2简单的线性规划问题问题:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元,生产1件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?32利润(万元)821所需时间1240B种配件1604A种配件资源限额乙产品(1件)甲产品(1件)资源把问题1的有关数据列表表示如下:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,2841641200xyxyxy0xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:问题：求利润2x+3y的最大值.若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?,2z2把z=2x+3y变形为y=-x+,这是斜率为-333z在y轴上的截距为的直线,3当点P在可允许的取值范围变化时,z求截距的最值,即可得z的最值.32841641200xyxyxy0xy4348233zyxM（4，2）142yx问题：求利润z=2x+3y的最大值.143224maxZ2841641200xyxyxy像这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数）。在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划。满足线性约束的解(x,y)叫做可行解；所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解。变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？2841641200xyxyxy0xy4348133zyxN（2，3）142yx变式：求利润z=x+3y的最大值.max23311z变式、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=xx+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3目标函数：Z=2x+y解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；体会:二、最优解一般在可行域的顶点处取得。三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，而且还与直线Z=Ax+By的斜率有关。一、先定可行域和平移方向，再找最优解。（1）不等式组表示的平面区域内的整数点共有（）个.123400yxyx变式1:1234xy432104x+3y=123例2、已知x、y满足y≤xx＋2y≤4y≥－2(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r0)，则r的最小值为________．解析：画出可行域如图，显然区域内点A到点D(－1,1)距离最大，点D到直线BC距离最小r＝|－1－1|12＋12＝2.说明：此类问题是转化为两点之间的距离来求解例3、已知满足不等式yx,,3006xyxyx,)0(ayaxz设若当z取最小值时对应的点有无数多个,求a的值.解：如图所示,刚好移动到直线AB时,将会有无数多个点使函数取得最小值.又由于,1ABk所以.1a)0(azaxy即直线说明：此类问题要结合图形理解刚好移动到直线AB时满足条件。BCA64yxO62242420yx06yx3x变式3、已知x，y满足条件x≥0，y≤x，2x＋y＋k≤0(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则k＝________.解析：由题意可知，目标函数z的最大值在y＝x与2x＋y＋k＝0的交点处取得，联立方程组可得交点为(－k3，－k3)，∴z＝－k3－k＝－43k＝8，∴k＝－6.－6二元一次不等式表示平面区域直线定界，特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答课后练习课后习题