高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式课件新人教A版

【课标要求】1.掌握基本不等式，明确基本不等式成立的条件.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式证明一些简单的不等式.4.能用基本不等式比较代数式的大小.自主学习基础认识|新知预习|1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2__≥__2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3．算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab.(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．|化解疑难|1．基本不等式简单应用的两个注意点(1)拆项：对于多于两个的和或积应用基本不等式时，一般来说要多次应用不等式，此时一般把奇数项拆成偶数项，从而应用基本不等式．(2)a，b的含义：对于基本不等式中的a，b只是一个符号，它可代表一个数，一个字母，一个式子．在处理问题时要有整体意识．2．关于基本不等式的几个常见结论由公式x2＋y22≥xy(x，y∈R)和a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)可以引申出的常用结论(1)ba＋ab≥2(a，b同号)．(2)ba＋ab≤－2(a，b异号)．(3)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)(或ab≤a＋b22≤a2＋b22(a≥0，b≥0))．易错警示：利用基本不等式时一定注意条件的应用，每个条件都不能缺少，特别是等号成立的条件一定要验证．|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．()(2)若a0，b0且a≠b，则a＋b2ab.()(3)若a0，b0，则ab≤a＋b22.()√√√2．给出下列条件：①ab0；②ab0；③a0，b0；④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是()A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab|D．a2＋b22|ab|解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．答案：A4．(陕西西安月考)下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：若a0，则a＋4a≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b24ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则aba＋b2，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．答案：D5．若0a1,0b1，则logab＋logba≥________.解析：因为0a1,0b1，所以logab0，logba0，所以logab＋logba＝logab＋1logab≥2logab·1logab＝2.当且仅当logab＝logba即a＝b时取“＝”．答案：2课堂探究互动讲练类型一对基本不等式的理解[例1]下列结论正确的是()A．当x0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0x≤2时，x－1x无最大值【解析】对于选项A，当x0且x≠1时，lgx不一定大于0，需要分类讨论；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝1x，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－1x在0x≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】B方法归纳,应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数．(2)二定值：只有ab或a＋b有一个为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．(3)三相等：即“＝”必须成立，求出的定值才是要求的最值．跟踪训练1设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b解析：因为0ab，所以由基本不等式得aba＋b2，且a＋b2b＋b2＝b，又a＝aaab，故aaba＋b2b，故选B.答案：B类型二利用基本不等式证明不等式[例2]已知a、b、c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【思路点拨】判断a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0→证a2b＋b≥2a→证b2c＋c≥2b→证c2a＋a≥2c→得所证不等式【证明】∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.方法归纳,(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练2已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.证明：方法一∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理，1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．方法二1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab.由(1)知，1a＋1b＋1ab≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab≥9，当且仅当a＝b＝12时，等号成立．|素养提升|1．两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，a＋b2＝ab；另一方面：当a＋b2＝ab时，也有a＝b.2．使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．|巩固提升|1．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.答案：C2．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A.a＋d2bcB.a＋d2bcC.a＋d2＝bcD.a＋d2≤bc解析：因为a，b，c，d是不相等的正数且成等差数列，所以a＋d2＝b＋c2bc.答案：A3．函数f(x)＝x＋1x(x0)的最小值________．解析：∵x0∴1x0∴x＋1x≥2x·1x＝2答案：2