线性代数历年考研试题之填空题

线性代数历年考研试题精解-1-一、填空题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)已知三维线性空间的一组基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)aaa,则向量(2,0,0)u在上述基底下的坐标是.【考点】向量在基下的坐标.解方法一:设112233uxaxaxa,得方程组1213232,0,0,xxxxxx解得1231,1,1xxx.方法二:111223312323(,,)auxaxaxaxxxaa,解矩阵方程得1231,1,1xxx.【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的.2.(1988—Ⅰ,Ⅱ)设44矩阵234234(,,,),(,,,)AB,其中234,,,,均为4维列向量,且已知行列式4,1AB,则行列式AB.【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质.解23423422288()40ABAB.【注意】ABAB.3.(1988—Ⅳ,Ⅴ)1110110110110111.【考点】行列式的计算.方法一:11101110111011101101001101110111310110101010100120111011100110003.方法二:4(41)21111111111010010333(1)1(1)(1)(1)31011010001111000D.【注】副对角行列式线性代数历年考研试题精解-2-1(1)2212(1)nnnn.4.(1988—Ⅳ,Ⅴ)10001001001001000.【考点】求逆矩阵.解方法一:0001100010000001001001000100001001000010001001001000000100011000r,所以100010001001000100100010010001000.方法二:利用分块矩阵求逆公式得到.【注】111OAOBBOAO.方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵(1,4)E.【注】1(,)(,)EijEij.5.(1989—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵300100140,010003001AI,则逆矩阵1(2)AI.【考点】分块矩阵求逆.解11100100112120(2)01221001001BOBOAIAIOO.【注】(1)111AOAOOBOB;线性代数历年考研试题精解-3-(2)1dbabcaabcdcd.6.(1989—Ⅳ)齐次线性方程组1231231230,0,0xxxxxxxxx只有零解,则应满足的条件是.【考点】齐次线性方程组解的理论.解n个方程n个未知数的齐次线性方程组11nnnnAXO只有零解()0RAnA,即21111(1)01111A.7.(1989—Ⅴ)行列式1111111111111111xxxx.【考点】行列式的计算.解11241111111111111111111111111111jcccxjxxxxxxDxxxxx2131414342100100(1)1.1001000ccccccxxxxxxxxx8.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是.【考点】向量组秩的计算.解12341234123423451111()2.3456000045670000rARA线性代数历年考研试题精解-4-9.(1990—Ⅳ,Ⅴ)若线性方程组121232343414,,,xxaxxaxxaxxa有解,则常数1234,,,aaaa应满足条件.【考点】非齐次线性方程组解的理论.解非齐次线性方程组有解()()RARB.1122331234411001100011001100011001100001001raaaaBAbaaaaaaa,则12340aaaa.10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设4阶方阵5200210000120011A,则A的逆阵1A.【考点】分块矩阵求逆.解1A111200522500211200331211110033OO.11.(1991—Ⅳ)设A和B为可逆矩阵,OAXBO为分块矩阵,则1X.【考点】抽象分块矩阵求逆.解设111212122XXXXX,由111221221212211122XXAXAXEOOAXXBXBXOEBO,得21122111112212211122,,,,,,AXEAXOXOXBXAXOBXOBXE,所以111OBXAO.线性代数历年考研试题精解-5-12.(1991—Ⅴ)n阶行列式0000000000000000ababaabba.【考点】行列式的计算.解把行列式按第1列展开,得110000000000000(1)(1)0000000000000nnnnabbababDababababaab.13.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设111212122212nnnnnnababababababAababab,其中0,0(1,2,,)iiabin,则矩阵A的秩()RA.【考点】矩阵秩的计算.解11111212000()1000iinarrainabababARA.14.(1992—Ⅳ)设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且,,OAAaBbCBO,则C.【考点】行列式的性质.解(1)mmmnnnOAAOCBOOB从第n+1列开始每一列与前n列逐列交换(1)mnmnAB(1)mnab.15.(1992—Ⅴ)矩阵1111111111111111A的非零特征值是.线性代数历年考研试题精解-6-【考点】特征值的计算.解方法一:311111111(4)11111111AE,则4为所求.方法二:A为实对称矩阵且()1RA,则A只有一个非零特征值;又A的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4.【注】(1)若A为实对称矩阵,则()RAA的非零特征值的个数.事实上,由A为实对称矩阵,则存在可逆矩阵P,使得112[,,,]nPAPdiag,其中12,,,n为A的特征值,所以12()(),,,nRAR中非零的个数.(2)A的特征值之和等于A的对角线元素之和.16.(1993—Ⅰ,Ⅱ)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1n,则线性方程组0Ax的通解为.【考点】齐次线性方程组解的结构.解A的秩为1n,则线性方程组0Ax的基础解系所含解向量的个数为()(1)1nRAnn.由A的各行元素之和均为零,知向量(1,1,,1)T是线性方程组0Ax的一个非零解,故线性方程组0Ax的通解为(1,1,,1),Txkk为任意常数.【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决.17.(1993—Ⅳ,Ⅴ)设四阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵*A的秩为.【考点】A的秩与其伴随矩阵*A的秩的关系.解*()2341()0RARA.【注】*,(),()1,()1,0,()1.nRAnRARAnRAn若若若线性代数历年考研试题精解-7-18.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知11(1,2,3),(1,,)23,设TA,其中T是的转置,则nA.【考点】矩阵的基本运算.解()()()()()()()nTnTTTTTTTA111111232()()()32133312TTnTnTn.【注意】T为常数,而T为方阵.19.(1994—Ⅳ,Ⅴ)设0,1,2,,iain,且121000000000000nnaaAaa,则1A.【考点】分块矩阵求逆.解1111211211nnnnOaaaaOAaOaaOa1111211000000000000nnaaaa.20.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设三阶方阵,AB满足关系式16ABAABA,且100310041007A,则B.【考点】解矩阵方程.线性代数历年考研试题精解-8-解由16ABAABA得16()[3,2,1]BAEAdiag.【注】11111221nn,其中12,,,n全不为零.21.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设100220345A,*A为A的伴随矩阵,则*1()A.【考点】逆矩阵的性质.解由*1*11001011()0553211052AAAAAA.【注意】当A可逆时,*1()AAA.22.(1996—Ⅰ,Ⅱ)设A是43矩阵,且A的秩()2RA,而102020103B,则()RAB.【考点】矩阵秩的性质.解由100B知B可逆,则()()2RABRA.【注】当,PQ可逆时,()()()()RPAQRPARAQRA,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩.23.(1996—Ⅳ)设11232222212331111123111111,,11nnnnnnnxaaaaxAaaaaXBxaaaax,其中(;,1,2,,)ijaaijijn,则线性方程组TAXB的解是X.【考点】求解非齐次线性方程组.线性代数历年考研试题精解-9-解由范德蒙行列式,得1()0TijjinAaa,方程组有惟一解.显然(1,0,,0)Tx为方程组的解.24.(1996—Ⅴ)五阶行列式100011000110001100011aaaaDaaaaa.【考点】行列式的计算.解100010001100110001100110001100110000100011aaaaaaaaDaaaaaaaa54400001000()010000100001aaDaDaaa,则54325432